Lección 5 — Composición e función inversa

Sean $f(x) = 3x + 1$ y $g(x) = x^2$. Calcule $(f \circ g)(x)$.

Las mismas $f, g$ del ejercicio anterior. Calcule $(g \circ f)(x)$ y compare con $(f \circ g)(x)$.

Sean $f(x) = 2x - 5$ y $g(x) = x^2 + 1$. Calcule $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$.

Para $f(x) = x^2 - 12$ y $g(x) = x + 3$, calcule $(f \circ g)(2)$.

Sean $f(x) = 3x - 2$ y $g(x) = 1/x$. Calcule $(f \circ g)(x)$, indique el dominio, y evalúe $(f \circ g)(2)$ y $(g \circ f)(2)$.

Sean $f(x) = 1/(x - 2)$ y $g(x) = x + 3$. Calcule $(f \circ g)(x)$ e indique el dominio.

Sean $f(x) = 3x + 2$ y $g(x) = \sqrt{x}$. Calcule $(f \circ g)(x)$ y determine el dominio.

Sean $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2 - 4$. Determine $(f \circ g)(x)$ y su dominio.

Para $f(x) = 1/(x+1)$ y $g(x) = 1/(x+1)$, determine el dominio de $(f \circ g)$.

¿Cuál es el dominio de $(f \circ g)(x)$ cuando $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x - 2$?

Descomponga $h(x) = (3x + 2)^4$ como composición $f \circ g$ de dos funciones más simples.

Descomponga $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ como composición $f \circ g$.

Descomponga $h(x) = \sqrt{5x + 1}$ como composición de tres funciones $h_3 \circ h_2 \circ h_1$.

Descomponga $h(x) = \sqrt[3]{1 - x^2}$ como composición $f \circ g$.

Descomponga $h(x) = e^{2x - 5}$ como composición y determine el dominio.

Sean $f, g$ tales que $(f \circ g)(x) = x^2 + 4x$ y $g(x) = x + 2$. Determine $f(x)$.

Determine $f(x)$ sabiendo que $f(x + 1) = 2x^2 + 3x - 1$.

¿Cuál de las siguientes descomposiciones es correcta para $h(x) = 1/(x+3)^2$ como composición de tres funciones $h_3 \circ h_2 \circ h_1$?

Encuentre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = 3x + 7$.

Encuentre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = (x - 1)/2$.

Encuentre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = \sqrt[3]{x + 5}$.

Encuentre $f^{-1}(x)$ para $f: [0, +\infty) \to [2, +\infty)$, $f(x) = x^2 + 2$.

Encuentre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = (2x + 3)/(x - 1)$, $x \neq 1$.

Verifique que $f(x) = 2x + 4$ y $g(x) = (x - 4)/2$ son inversas calculando $f \circ g$ y $g \circ f$.

$f(x) = x^2$ no es invertible en $\mathbb{R}$. Determine dos dominios diferentes y restringidos donde $f$ se vuelva invertible y exhiba las dos inversas.

$f(x) = x^2 - 4x + 7$ no es invertible en $\mathbb{R}$. Restrinja el dominio a la rama creciente natural y determine $f^{-1}$.

Explique geométricamente por qué la gráfica de $f^{-1}$ es la reflexión de la gráfica de $f$ por la recta $y = x$.

¿Cómo se decide gráficamente si $f$ admite inversa? Describa el criterio y dé un ejemplo de función que pasa el criterio y uno que no pasa.

Muestre que $f(x) = a/x$ (con $a \neq 0$, $x \neq 0$) es su propia inversa. Las funciones con esta propiedad se llaman involuciones.

Muestre que $f(x) = 1 - x$ es una involución.

En logística, costo de envío $C(p) = 30 + 4p$ (R$ por kg). Determine $C^{-1}$: ¿qué peso paga $c$ reales de flete? Para flete R$ 90, ¿cuál es el peso?

Conversión Celsius → Fahrenheit: $F(C) = (9/5)C + 32$. (a) Determine $F^{-1}$. (b) Calcule la temperatura en °C correspondiente a $F = 100\ °F$.

Conversor real-dólar: $D(R) = R/5$ (tasa simplificada). Encuentre $D^{-1}$ y calcule cuántos reales corresponden a US$ 50.

Normalización z-score: $g(x) = x - \bar{x}$ (centraliza) y $f(y) = y/\sigma$ (escala). (a) Exprese la compuesta $(f \circ g)(x)$. (b) Determine la inversa $(f \circ g)^{-1}$ para destransformar predicciones del modelo. Cuidado con el orden.

Farmacocinética: dosis $D$ (mg) produce concentración $C(D) = 0,05\,D$ mg/L. Determine $C^{-1}$: ¿qué dosis produce concentración $c$? Para $c = 2$ mg/L, ¿cuál es la dosis?

Un producto cuesta $p$ reales. Tienda A: $f(p) = 0,9p$ (10% de descuento). Tienda B: $g(p) = p - 50$ (R$ 50 fijo). (a) Para $p = 800$: ¿cuál paga menos? (b) ¿Para cuál $p$ las estrategias tienen el mismo precio?

Piscina con llenado $V(t) = 80\,t$ litros. Determine $V^{-1}$: ¿cuánto tiempo para llenar $v$ litros? ¿Para 4.000 L?

Conversión en cadena: US$ → R$ vía $f(d) = 5d$ (tasa simplificada); R$ → BTC vía $g(r) = r/350\,000$. (a) Modele US$ → BTC como compuesta $g \circ f$. (b) Determine la inversa BTC → US$. (c) 0,01 BTC equivalen a ¿cuántos dólares?

Demuestre que si $f$ es biyectiva, entonces $(f^{-1})^{-1} = f$.

Demuestre que la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.

Demuestre que si $f$ y $g$ son biyectivas, entonces $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$.

Si $f \circ g$ es inyectiva, pruebe que $g$ es inyectiva. ¿La recíproca es verdadera para $f$? Justifique con contraejemplo.

Cifra de César. Codificación: $E_k(\ell) = (\ell + k) \bmod 26$ para $\ell \in \{0, \ldots, 25\}$ y desplazamiento $k$. (a) Determine $E_k^{-1}$. (b) Para $k = 3$, codifique "H" (= 7) y verifique que el desencriptamiento recupera "H".

Para $f$ biyectiva, determine $((f^{-1})^{-1})^{-1}$. Justifique usando la unicidad de la inversa.

Una involución es una función $f$ con $f \circ f = \operatorname{id}$. Muestre que las involuciones son auto-inversas y verifique que $f(x) = c - x$, $f(x) = -x$ y $f(x) = 1/x$ son ejemplos.