Lección 6 — Funciones exponenciales

Calcula $7^0$, $(1{,}5)^0$ y $(0{,}01)^0$.

Calcula $2^{-3}$.

Calcula $3^{1/2}$.

Determina el dominio, la imagen y el punto en el que $f(x) = 2^x$ cruza el eje $y$.

Para $f(x) = 2^x$, calcula $f(3)$, $f(-2)$ y $f(1/2)$.

Para $g(x) = (1/3)^x$, calcula $g(-1)$, $g(0)$ y $g(2)$. ¿La función es creciente o decreciente?

¿Cuál conjunto de características describe correctamente $f(x) = a^x$ con $a > 0, a \neq 1$?

Simplifica $2^3 \cdot 2^4$ usando la ley $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Simplifica $(3^2)^4$.

Simplifica $5^7 / 5^3$.

Compara el comportamiento de $f(x) = 2^x$ y $g(x) = (1/2)^x$: ¿cuál es creciente, cuál es decreciente, y cuál es la relación geométrica entre los dos gráficos?

Calcula $(1 + 1/n)^n$ para $n = 1, 10, 100, 1\,000, 10\,000$. ¿Qué observas?

Resuelve $2^x = 8$.

Resuelve $3^x = 1/9$.

Resuelve $2^{x+1} = 32$.

Resuelve $5^{2x-1} = 125$.

Resuelve $9^x = 27$.

Resuelve $9^{2x-1} = 27^{x+2}$.

Resuelve $2^{x+3} = 4$.

Resuelve $3^{x^2-1} = 81$.

Resuelve $(1/2)^{2x} = 8$.

Resuelve $4^x + 2^{x+1} - 8 = 0$.

Resuelve la inecuación $2^x > 2$.

Resuelve la inecuación $3^x < 9$.

Resuelve la inecuación $5^{x+1} \geq 25$.

Una colonia de bacterias se duplica cada hora. Inicialmente hay 50. (a) Modela $N(t)$. (b) ¿Cuántas después de 6 horas? (c) ¿En cuánto tiempo llega a 12.800?

Un cultivo de bacterias se triplica cada 4 horas. Inicialmente hay 200. Modela $N(t)$ y calcula $N(12)$.

Inviertes R$ 1.000 a 6% al año. (a) Saldo después de 5 años con capitalización anual. (b) Saldo después de 5 años con capitalización mensual.

Para la misma inversión del ejercicio 6.28 (R$ 1.000, 6% a.a., 5 años), calcula el saldo con capitalización continua ($M = Pe^{rt}$).

La población de una ciudad crece 2,5% al año. Actual: 80.000 habitantes. ¿Cuál es la población en 10 años?

Vida media del tecnecio-99m (medicina nuclear): 6 horas. Dosis inicial: 200 mCi. ¿Cuánto queda después de 18 horas?

La vida media del carbono-14 es 5.730 años. Un hueso contiene $1/8$ del carbono-14 original. ¿Cuántos años tiene?

Un medicamento se elimina con tasa $k = 0,3$/h. Dosis inicial: 500 mg. (a) Modela $C(t)$. (b) ¿Cuándo la concentración es la mitad de la inicial?

Ley de Newton de enfriamiento: $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$. Para $T_a = 5\,°C$, $T_0 = 25\,°C$, $k = 0{,}1$/min: (a) $T(10)$; (b) ¿Cuándo $T = 6\,°C$?

Un capacitor se descarga según $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$. Para $V_0 = 12$ V, $RC = 2$ s: (a) $V(1)$; (b) ¿Cuándo $V = 1$ V?

La intensidad luminosa en agua decae como $I(x) = I_0 e^{-0{,}3x}$ ($x$ en metros). Para $I_0 = 1.000$ lux: (a) $I(5)$; (b) Profundidad para la cual $I = 0{,}1 I_0$.

Muestra que $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ usando la definición de potencia entera e inducción.

Muestra que $a^x = b^x$ implica $a = b$ o $x = 0$, para $a, b > 0$.

Muestra que $f(x) = a^x$ es estrictamente creciente si $a > 1$ y estrictamente decreciente si $0 < a < 1$.

Resuelve $4^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 32 = 0$. (Sustituye $u = 2^x$.)

Resuelve $9^x - 3^{x+1} - 18 = 0$. (Sustituye $u = 3^x$; el resultado no es entero.)

Compara la velocidad de crecimiento de $a^x$ (con $a > 1$) y de cualquier polinomio $x^n$ cuando $x \to +\infty$. ¿Cuál domina?