Lección 7 — Funciones logarítmicas

Calcula $\log_2 8$.

Calcula $\log_3 81$.

Calcula $\log_5(1/5)$.

Calcula $\log_{10} 1$.

Calcula $\log_{10} 1000$.

Calcula $\log_4 2$.

Resuelve $\log_2 x = 5$.

Resuelve $\log_{10} x = 2$.

Usa propiedades para simplificar $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 16$.

Calcula $\log_2 \sqrt{32}$ usando propiedades.

Calcula $\log_5 25$.

Calcula $\log_3(1/9)$.

Calcula $\log_{16} 64$.

Calcula $\log_2 32 + \log_2 4$ usando propiedades.

Calcula $\log_3 27 - \log_3 9$ usando propiedades.

Usa P1: calcula $\log_2(8 \cdot 16)$.

Usa P2: calcula $\log_2(32/8)$.

Usa P3: calcula $\log_5(125^3)$.

Usa cambio de base para expresar $\log_2 7$ en términos de $\ln$, y calcula numéricamente.

Resuelve $\log_3 x = 4$.

Resuelve $\log_2(x+1) = 5$.

Resuelve $\log_5 x = \log_5 6 + \log_5 4$.

Resuelve $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$.

Resuelve $\ln(x+1) = 2$. Expresa la respuesta exacta y un valor aproximado.

Resuelve $\log_4 x + \log_4(x-3) = 1$.

Resuelve $\log_3(x^2 - 5x + 9) = 1$.

¿Cuál es el dominio e imagen de $f(x) = \log_a x$ (con $a > 0, a \neq 1$)?

¿Por qué $\log_{10} 0$ es indefinido? Explica usando la definición del logaritmo.

Sabiendo $\log_{10} 2 \approx 0,301$, calcula $\log_{10} 5$ sin calculadora.

¿Cuál afirmación sobre $\log(2 \cdot 5)$ es correcta?

La escala Richter es $M = \log_{10}(A/A_0)$. ¿Cuántas veces más amplitud tiene un terremoto de magnitud 6 comparado con uno de magnitud 3? ¿Y cuántas veces más energía (sabiendo que $E \propto A^{3/2}$)?

¿Por qué la base del logaritmo debe satisfacer $a > 0$ y $a \neq 1$? Da un argumento para cada restricción.

¿Qué ocurre con $\log_{10}(\log_{10}(0{,}3))$? ¿Por qué?

pH = $-\log_{10}[H^+]$. (a) Para $[H^+] = 10^{-3}$ mol/L, calcula el pH. (b) ¿Cuántas veces más ácida es una solución de pH 4 en relación a pH 7?

Nivel sonoro: $L = 10\log_{10}(I/I_0)$, $I_0 = 10^{-12}$ W/m². (a) Calcula $L$ para conversación ($I = 10^{-6}$ W/m²). (b) Para concierto de rock ($I = 10^{-2}$ W/m²). (c) ¿Cuál es la razón de intensidades?

Una droga tiene meia-vida de 6 horas. ¿Cuántas meias-vidas hasta que el nivel caiga por debajo del 1% del inicial? ¿Cuánto tiempo en horas?

La población mundial crece a 1,1% al año. ¿En cuánto tiempo se duplica? (Usa $\ln 2 \approx 0{,}693$.)

Datación por carbono-14: $t = \frac{\tau_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln(N_0/N)$. Para $\tau_{1/2} = 5\,730$ años y $N/N_0 = 0,25$, ¿cuál es la edad de la muestra?

Interés compuesto: $t = \log(S/S_0)/\log(1+i)$. Para $S_0 = 1.000$, $i = 8\%$ anual, ¿cuánto tiempo hasta $S = 5.000$?

En fotografía, cada "stop" corresponde a $\log_2$ de la razón de luminancia. ¿Cuántos stops separan ISO 100 e ISO 1.600?

Magnitud estelar: $m_1 - m_2 = -2{,}5\log_{10}(F_1/F_2)$. Sirio tiene $m \approx -1{,}5$ y el límite de la visión a simple vista es magnitud 6. ¿Cuántas veces Sirio es más brillante?

La búsqueda binaria tiene complejidad $O(\log_2 n)$. Para $n = 10^6$, ¿cuántas comparaciones en el peor caso?

Demuestra la propiedad del producto: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, usando solo la definición de logaritmo y la ley de los exponentes.

Demuestra la propiedad de la potencia: $\log_a(x^n) = n\,\log_a x$. Como corolario, muestra que $\log_a \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_a x$.

Demuestra la fórmula de cambio de base: $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, para $a, b > 0$, $a, b \neq 1$.

Crecimiento continuo: $P(t) = P_0\,e^{rt}$. Invierte para expresar $t$ en función de $P, P_0, r$. Calcula el tiempo para duplicar R$ 1.000 a 10% anual (capitalización continua). Compara con la regla de los 70.