Lección 8 — Crecimiento exponencial, polinomial y logarítmico

Una colonia de bacterias comienza con 500 y se dobla cada hora. ¿Cuántas habrá después de 6 horas?

Las bacterias se doblan cada 30 minutos. Inicialmente 100. ¿Cuántas después de 3 horas? Escriba el modelo $N(t)$ con $t$ en horas.

La vida media de un isótopo radiactivo es 5 años. ¿Qué fracción de la cantidad original queda después de 25 años?

R$ 5.000 aplicados a 8% a.a. con capitalización continua. ¿Saldo después de 10 años?

R$ 2.000 aplicados a 8% a.a. con capitalización anual. ¿Saldo después de 10 años? Use la regla de los 70 para verificar.

Carbono-14 ($\tau_{1/2} = 5.730$ años). Un hueso contiene 30% del C-14 original. ¿Cuál es la edad del hueso?

Una cantidad se dobla cada 7 años. ¿Cuál es la tasa de crecimiento continuo $k$?

Una ciudad crece 2% por año (compuesto anual). ¿En cuántos años se triplica la población?

Constante de crecimiento continua $r = 0{,}05$/año. ¿En cuántos años la población crece 50%?

Droga con vida media de 6 horas; dosis inicial 200 mg. (a) ¿Cuánto queda después de 12 h? (b) ¿Después de 24 h? (c) ¿Cuándo cae por debajo de 10 mg?

Discriminación conceptual. ¿Cuál de las afirmaciones describe correctamente la función $f(x) = \ln x$?

Discriminación conceptual. ¿Cuál modelo se caracteriza por la propiedad "la tasa relativa de variación $N'(t)/N(t)$ es constante"?

Tres modalidades para R$ 5.000 a 8% a.a. en 10 años: (a) intereses simples; (b) capitalización anual; (c) capitalización continua. Calcule y compare los saldos. ¿Cuál modalidad rinde más?

La población mundial era 6 mil millones en 2000 y 8 mil millones en 2024. (a) Estime la tasa anual continua $r$. (b) Escriba el modelo. (c) ¿En qué año alcanza 10 mil millones (mantenida la tasa)?

La población mundial era 7,8 mil millones en 2020 y crece a 1,1% por año. Estime la población en 2050.

Isótopo con vida media de 5 años. ¿Cuántos por ciento decayeron después de 25 años? ¿Cuánto queda?

Carbono-14 ($\tau_{1/2} = 5.730$ años). En un tejido orgánico, ¿cuánto tiempo hasta que 90% del C-14 original haya decaído?

Depreciación en saldo decreciente: $V(t) = 50.000 \cdot (0{,}85)^t$. (a) ¿Valor después de 5 años? (b) ¿Depreciación total en 10 años?

Un cultivo de bacterias crece de 1.000 a 8.000 en 6 horas. Determine el tiempo de duplicación.

Brasil creció de 190 millones (2010) a 215 millones (2024). Estime la tasa anual continua de crecimiento.

Regla de los 72: $T_\text{dupl} \approx 72/r\%$. Compare con la fórmula exacta $T = \ln 2/\ln(1+r)$ para $r = 5\%$, $10\%$, $20\%$. ¿La regla es buena?

Producto nuevo crece 8% por mes. ¿En cuántos meses se dobla?

Inflación anual de 4% (compuesta). ¿En cuántos años se doblan los precios?

R$ 1.000 a 6% a.a.: (a) capitalización continua; (b) capitalización anual. ¿Cuánto rinde más en 10 años? ¿Por qué?

Muestre que si $N(t) = N_0 e^{kt}$, entonces $\ln N$ vs $t$ es una recta con pendiente $k$. ¿Por qué esto es útil para identificar crecimiento exponencial en datos?

Ley de Moore: Intel 4004 (1971) — 2.300 transistores; Apple M2 Ultra (2023) — $\sim 2 \times 10^{10}$ transistores. ¿Cuántos dobleces ocurrieron? ¿En cuántos años por doblez?

Discriminación conceptual. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre crecimiento logístico $\dot N = rN(1-N/K)$ y exponencial $\dot N = rN$?

Muestre que vida media $\tau_{1/2} = \ln 2/|k|$ y tiempo de duplicación $T_\text{dupl} = \ln 2/k$ son análogos — misma fórmula, sentido opuesto.

Demostración. Muestre que si $N(t)$ satisface $\dot N = kN$ con $k$ constante y $N > 0$, entonces $N(t) = N(0)\,e^{kt}$. (Use separación de variables; esto se formalizará en el Trimestre 10.)

Crecimiento logístico: $N(t) = K/(1 + A e^{-rt})$ con $K = 1.000$, $A = 9$, $r = 0{,}1$/año. Calcule $N(20)$.

Café a $90\,°C$ se enfría en sala de $20\,°C$. Después de 5 min está a $70\,°C$. Modele $T(t)$. Calcule $T(15)$.

Ley de Newton: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a) e^{-kt}$. Muestre que la "vida media de la diferencia" $D(t) = T - T_a$ es $\ln 2/k$. Calcule para el café del ejercicio 8.31.

Modelo SIR en fase inicial ($I \ll N$): $I(t) \approx I_0 e^{(\beta N - \gamma)t}$. Para $R_0 = \beta N/\gamma = 2{,}5$ y $\gamma = 1/5$ día, calcule el tiempo de duplicación de infectados.

Desafío. Muestre que $e^x / x^{100} \to \infty$ cuando $x \to \infty$. (Aplique L'Hôpital 100 veces o estime numéricamente para $x = 1.000$.)

Comparación financiera. Banco A: 12% a.a. capitalización anual. Banco B: 11,5% a.a. capitalización continua. ¿Cuál rinde más en 5 años? Calcule para R$ 10.000.

Capacitor: $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, $\tau = RC$. Para $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu$F, $V_0 = 12$ V: (a) ¿$\tau$? (b) ¿$V(0{,}1\,\text{s})$? (c) ¿Cuándo $V = 1$ V?

Circuito RL: $I(t) = (V/R)(1 - e^{-Rt/L})$. Para $V = 12$ V, $R = 4\,\Omega$, $L = 2$ H: (a) ¿constante de tiempo? (b) ¿$I(0{,}5)$? (c) ¿Cuándo $I = 90\%$ del máximo?

Reactor nuclear: potencia residual $P(t) = P_0 e^{-\lambda t}$, $\lambda = 0{,}05$/h. ¿Cuánto tiempo hasta que la potencia caiga a 1%?

Una muestra orgánica contiene 80% del carbono-14 original. ¿Cuál es la edad? ($\tau_{1/2} = 5.730$ años.)

Tc-99m: vida media de 6 horas, dosis inicial 25 mCi. ¿Cuánto queda después de 24 horas?

Datación por uranio-238 ($\tau_{1/2} = 4{,}5$ mil millones de años). Roca de circón con 80% del U-238 original. ¿Cuál es la edad?

Después del pico epidémico, infectados decaen: $I(t) = I_0 e^{-\gamma t}$, $\gamma = 0{,}1$/día. ¿Cuánto tiempo hasta caer 90%?

Datación por potasio-argón: vida media K-40 = 1,25 mil millones de años. Roca con razón Ar/K = 0,3. ¿Cuál es la edad aproximada?

Desafío. Para el modelo logístico $\dot N = rN(1-N/K)$ con $K = 1.000$, $r = 0{,}1$/año: (a) ¿Cuál es el punto de inflexión $N^*$ donde el crecimiento es máximo? (b) ¿Cuál es la tasa de crecimiento máxima \dot N_\max?

Demostración. Pruebe que $\ln x / x^p \to 0$ cuando $x \to \infty$, para cualquier $p > 0$. (Use L'Hôpital o sustituya $u = x^p$.) Concluya que $\ln x$ crece más lentamente que cualquier potencia positiva.