Lección 9 — Tasa de variación media — puerta de entrada al cálculo

Calculá la TVM de $f(x) = x^2$ en el intervalo $[1, 3]$.

Calculá la TVM de $f(x) = x^2$ en el intervalo $[1, 5]$.

Calculá la TVM de $f(x) = x^2$ en el intervalo $[2, 4]$.

Calculá la TVM de $g(x) = 3x - 5$ en $[0, 10]$. Verificá que es igual a la inclinación $a = 3$ de la recta.

Calculá la TVM de $g(x) = 2x + 7$ en $[10, 20]$.

Calculá la TVM de $f(x) = \sqrt{x}$ en el intervalo $[4, 9]$.

Calculá la TVM de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en el intervalo $[1, 4]$.

Demostrá que la TVM de $f(x) = c$ (constante) en cualquier intervalo $[a, b]$ es cero. Explicá geométricamente.

Un coche recorre $s(t) = 4t^2$ metros en $t$ segundos. Calculá la velocidad media entre $t = 1$ y $t = 3$.

La altura de una pelota lanzada verticalmente es $h(t) = 20t - 5t^2$ (m, s). (a) Velocidad media entre $t = 0$ y $t = 2$. (b) Entre $t = 0$ y $t = 4$. (c) Interpretá la "media" nula del ítem (b).

Calculá la TVM de $f(x) = \sin(x)$ en $[0, \pi/2]$ y en $[\pi/2, \pi]$. Comparalas e interpretá.

Calculá la TVM de $f(x) = e^x$ en $[0, 1]$ y en $[1, 2]$. ¿Por qué la segunda es mayor?

Prederivada. Para $f(x) = x^2$, encontrá la TVM en el intervalo $[a, a+h]$ en función de $a$ y $h$. ¿Qué ocurre cuando $h \to 0$?

Para $f(x) = x^3$, encontrá la TVM en el intervalo $[a, a+h]$. ¿Qué ocurre cuando $h \to 0$?

Calculá la TVM de $f(x) = x^2$ en (a) $[1, 2]$; (b) $[1, 1{,}5]$; (c) $[1, 1{,}1]$; (d) $[1, 1{,}01]$. ¿Hacia qué valor convergen las TVMs? Esa convergencia es la derivada $f'(1)$.

Calculá la TVM de $f(x) = x^3$ en $[2, 2{,}5]$, $[2, 2{,}1]$, $[2, 2{,}01]$. Estimá $f'(2)$.

Para $f(x) = 1/x$, calculá la TVM en $[1, 1+h]$ y simplificá algebraicamente. ¿Qué ocurre cuando $h \to 0$?

Para $f(x) = x^2 + 3x$, calculá la TVM en $[1, 1+h]$ en función de $h$. ¿Hacia qué valor tiende la TVM cuando $h \to 0$?

Conceptual. Para $f(x) = x^2$, ¿cuál de las siguientes expresiones describe correctamente la TVM en $[a, a+h]$ y su límite cuando $h \to 0$?

¿En qué intervalos la TVM de $f(x) = x^3$ es positiva? ¿Negativa? (Pista: $f$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$.)

Conceptual: simetría. ¿Cuál es la TVM de una función par $f$ en el intervalo $[-a, a]$?

Trampa clásica. ¿La TVM de una función impar en $[-a, a]$ es cero? Justificá — y comparala con el caso par.

La TVM de $f(x) = |x|$ en $[-1, 1]$ es cero. La TVM en $[0, 1]$ es $1$. La TVM en $[-1, 0]$ es $-1$. ¿Qué revela esto sobre la gráfica en el punto $x = 0$?

La función $f$ es monótona creciente en $[a, b]$ si y solo si la TVM en cualquier subintervalo $[c, d] \subset [a, b]$ es positiva. ¿Verdadero o falso? Justificá.

Dá un ejemplo de una función con TVM $= 0$ en $[0, 2]$ que no sea constante. (Existen muchas — una sencilla.)

Demostrá: la TVM de $f(x) = ax^2 + bx + c$ en $[p, q]$ es $a(p + q) + b$. (Usá la fórmula directa, sin derivada.)

Demostrá que la TVM de cualquier función afín en cualquier intervalo es igual a su coeficiente angular.

Demostrá: la TVM de $f + g$ en $[a, b]$ es la suma de las TVMs de $f$ y $g$ en $[a, b]$.

Probá que la TVM de $kf$ en $[a, b]$ es $k$ veces la TVM de $f$. Aplicalo con $f(x) = x^2$, $k = 3$, $[1, 4]$.

Desafío. Para $f(x) = \sqrt{x}$, calculá la TVM en $[a, a+h]$ y simplificá racionalizando el numerador. ¿Qué obtenés cuando $h \to 0$?

Un coche recorre 120 km en 1,5 h. ¿Cuál es la velocidad media?

La posición de una partícula es $s(t) = 4t^2$ (m). ¿Velocidad media entre $t = 1$ y $t = 3$?

Un corredor recorre $s(t) = 0{,}5t^2 + 2t$ (km). (a) ¿Velocidad media entre $t = 0$ y $t = 1$? (b) ¿Entre $t = 0$ y $t = 2$? (c) ¿Por qué la segunda es mayor?

La población de una ciudad era 50.000 en 2010 y 75.000 en 2020. (a) ¿TVM anual media? (b) ¿Proyección para 2030 mantenida la misma tasa?

El PIB de Brasil creció de R$ 5,5 billones en 2010 a R$ 8,3 billones en 2020 (valores constantes, en reales). Calculá la TVM lineal anual. ¿Por qué es una aproximación burda?

Los ingresos de una empresa crecieron de 2 millones a 3,5 millones de euros en 5 años. ¿Cuál es la TVM mensual?

En farmacocinética, concentración en sangre: $C(t) = 100\, e^{-0{,}3t}$. ¿TVM en $[0, 2]$? ¿Y en $[2, 4]$? Comparalas.

Crecimiento de bacterias: $N(t) = 1\,000 \cdot 2^t$ (horas). ¿TVM en $[0, 3]$? ¿En $[3, 6]$? ¿Por qué la segunda es exactamente 8 veces mayor?

La inflación acumulada en 12 meses fue del 4,8%. ¿Cuál es la inflación media mensual? (Cuidado: la inflación se compone.)

Una empresa tiene coste $C(q) = 0{,}5q^2 + 30q + 200$. Calculá la TVM en $[10, 11]$ (= coste marginal aproximado de la unidad 11).

En una carrera de 100 m, el atleta recorre los primeros 30 m en 4,5 s y los últimos 70 m en 5,5 s. Velocidad media en (a) los primeros 30 m; (b) los últimos 70 m; (c) toda la carrera. ¿Dónde corrió más rápido?

La altura de una piedra es $h(t) = 100 - 5t^2$ (m). ¿Velocidad media en $[0, 2]$? ¿Y en $[2,\, t_\text{impacto}]$, siendo $t_\text{impacto}$ cuando $h = 0$?

Dos sensores de tráfico están a 1 km de distancia. Un coche pasa por el primero y el segundo con un intervalo de 50 s. Calculá $v_m$ en km/h.

Un índice subió de 100 a 144 en 4 años. (a) ¿Rendimiento acumulado (%)? (b) ¿Rendimiento anualizado (compuesto)?

La temperatura bajó de $28\,°C$ a las 14 h a $20\,°C$ a las 22 h. Calculá la TVM (°C/h). Discutí la validez del modelo lineal para la temperatura a lo largo de 8 horas.

La población $P(t) = 1\,000\, e^{0{,}03t}$ (habitantes). ¿TVM entre $t = 0$ y $t = 10$? ¿Y entre $t = 10$ y $t = 20$? ¿Cuál es mayor y por qué?

Estilo selectividad. Un coche recorre 100 km en 54 minutos en una autovía con límite de 110 km/h. Justificá por qué el conductor necesariamente superó el límite en algún instante.

Para $f(x) = \sqrt{x}$, calculá la TVM en $[4, 4{,}1]$, $[4, 4{,}01]$, $[4, 4{,}001]$. ¿Hacia qué valor convergen las TVMs? Interpretalo como $f'(4)$.

Calculá la TVM de $f(x) = e^x$ en $[\ln 2,\, \ln 3]$. Expresá el resultado en forma cerrada. ¿Hacia qué valor tiende la TVM cuando $b \to a$?

Integración conceptual. Para $f(x) = e^x$, la TVM en $[0, 1]$ es $e - 1 \approx 1{,}718$. La derivada de $f$ en el intervalo varía de $f'(0) = 1$ a $f'(1) = e \approx 2{,}718$. ¿Cómo reconciliar la TVM con esos valores? (Pista: Teorema del Valor Medio.)