Lección 10 — Consolidación Trim 1: taller integrador

Encuentra el dominio máximo de $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$. Expresa en notación de intervalo.

Resuelve $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Determina la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola $y = x^2 - 4 x + 7$ y tiene pendiente $2$.

Sean $f(x) = 2^x$ y $g(x) = \log_2 x$. Calcula $f(g(8))$ y $g(f(3))$. ¿Qué revelan los resultados sobre la relación entre $f$ y $g$?

Calcula la TVM de $f(x) = 2 x + 3$ en el intervalo $[1, 4]$.

Sean $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = \sqrt{x}$. Determina $(f \circ g)(x)$ y el dominio de esa composición.

Encuentra la inversa de $f(x) = 3^{x + 1}$.

Para $f(x) = 3^x$, calcula TVM en $[0, 2]$ y compara con TVM en $[2, 4]$. ¿Cuál es la conclusión conceptual?

Determina el dominio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}$. Expresa en notación de intervalo.

Determina $a$ para que $f(x) = (a - 1) x^2 + 3 x - 2$ tenga vértice en $x = 1$.

¿La función $f(x) = (1/2)^{x - 1}$ es creciente o decreciente? Justifica y determina la imagen.

Resuelve $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 5$.

¿Cuál es el dominio máximo de $f(x) = \sqrt{x-3}/(x-5)$?

Determina la inversa de $f(x) = 2x - 5$ y verifica que $f(f^{-1}(x)) = x$.

Para $f(x) = 3^x$, calcula la TVM en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$.

Sean $f(x) = 2x - 1$ y $g(x) = \sqrt{x}$. Calcula $(g \circ f)(x)$ y determina su dominio.

Resuelve $2^{x+1} = 16$.

Para $f(x) = x^2 - 5x + 6$: (a) encuentra las raíces; (b) determina el vértice; (c) esboza el gráfico indicando concavidad e imagen.

Encuentra todos los $x > 0$ tales que $x^{\log_{10} x} = 100 x$.

Dados $A = [1, 4)$ y $B = [2, 5]$, determina $A \cup B$ y $A \cap B$.

Estilo ENEM. Una piscina se llena en dos etapas: en las primeras 2 h, flujo de 500 L/h; después, 800 L/h. Modela $V(t)$ como función por partes y determina el tiempo total para llenar 6.000 L.

Una ciudad tiene $P(t) = 50\,000 \cdot (1{,}025)^t$ (años, a partir de 2020). ¿En cuál año la población alcanza 100.000?

Capacitor: $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, con $\tau = 0{,}5$ s y $V_0 = 12$ V. (a) Tensión en $t = 1$ s. (b) Tiempo para caer a 1 V. (c) Vida media (tiempo para caer a la mitad).

El ingreso familiar $R$ (en R$) aumenta linealmente con la escolaridad $e$ (años de estudio): $R = 800 + 200 e$. (a) ¿Cuánto aumenta el ingreso por año de estudio? (b) ¿Para cuál $e$ el ingreso alcanza R$ 5.000?

Una empresa tiene costo $C(q) = 50 + 20 q + 0{,}5 q^2$ e ingreso $R(q) = 60 q$. (a) ¿Cuándo la ganancia es cero? (b) ¿Cuál es la cantidad que maximiza la ganancia?

Cultivo $A$ crece con tasa $r_A = 0{,}05$/h; cultivo $B$ con $r_B = 0{,}10$/h. En $t = 0$: $A = 1.000$ células, $B = 200$. ¿Cuándo $A$ y $B$ tienen el mismo tamaño?

Nivel sonoro: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ dB. Dados $I = 10^{-6}$ W/m² e $I_0 = 10^{-12}$ W/m², calcula $L$. ¿Cuál es la interpretación física de la escala logarítmica aquí?

Un coche recorre 60 km en 1 h y después 90 km en 1,5 h. Calcula la velocidad media total.

Un medicamento tiene vida media de 3 h. Tomas 100 mg ahora y otra dosis de 100 mg en 6 h. Modela la concentración total $C(t)$ para $t \geq 0$. Calcula $C(6)$ y $C(12)$.

$P(t) = 200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t})$ (modelo logístico). (a) Capacidad de soporte ($t \to \infty$). (b) ¿En qué tiempo $t$ la población alcanza 100 (mitad de la capacidad)?

Trabajador A: salario fijo R$ 3.000/mes. Trabajador B: salario $0{,}1 \cdot V$ (V = ventas mensuales). ¿Para cuál volumen $V$ el salario de B excede el de A?

Costo medio: $C(q) = (1\,000 + 5 q)/q$. Reescribe como suma y determina el comportamiento cuando $q \to \infty$.

Una inversión de R$ 1.000 rinde intereses continuos a 5% anual: $M(t) = 1000 e^{0{,}05 t}$. Calcula la TVM en el primer año $[0, 1]$ y en el décimo año $[10, 11]$. ¿Por qué la TVM es mayor en el décimo año?

¿En cuánto tiempo se duplica el capital a interés compuesto de 5% anual? Usa logaritmo. Confirma con la "regla del 72" ($n \approx 72/r$).

Carbono-14 tiene vida media de 5.730 años. Una muestra retiene 75% del carbono original. ¿Cuál es la edad estimada de la muestra?

Para $f(x) = x^2$, calcula la TVM en el intervalo $[1, 4]$. Interpreta geométricamente como pendiente de una recta secante.

Química: $p_H = -\log_{10}[\text{H}^+]$. Una solución de jugo de naranja tiene $[\text{H}^+] = 2 \times 10^{-4}$ mol/L. Calcula el pH.

Muestra que la TVM de $f(x) = x^2$ en el intervalo $[a, b]$ es $a + b$. Usa ese resultado para calcular la TVM en los intervalos $[1, 3]$ y $[0, 4]$.

Estilo EJU. Para $f(x) = x^2 - 6 x + 8$: (a) raíces; (b) vértice; (c) mayor intervalo donde $f$ es inyectora; (d) inversa en ese intervalo.

Resuelve el sistema $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ x - y = 16 \end{cases}$ con $x, y > 0$.

Resuelve el sistema de inecuaciones $\begin{cases} 1 \leq x < 4 \\ (x - 3)^2 \leq 1 \end{cases}$. Expresa la solución en notación de intervalo.

Para $f(x) = (2 x - 1)/(x + 3)$: (a) determina dominio e imagen; (b) verifica si es inyectora; (c) encuentra la inversa $f^{-1}$.

Determina $a$ tal que $f(x) = e^{2 x} + a e^x + 1$ tenga mínimo igual a cero en $\mathbb{R}$.

Estilo Suneung. Para $f(x) = a x + b$ tal que $f(f(x)) = 4 x + 9$, encuentra todos los pares $(a, b)$.

Puente hacia el cálculo. Calcula la TVM de $f(x) = x^2$ en el intervalo $[x_0, x_0 + h]$ en función de $x_0$ y $h$. ¿Qué sucede cuando $h \to 0$? ¿Qué representa esa expresión?

Encuentra todos los $x > 0$ tales que $x^{\log_{10} x} = 100 x$. (Aplica log de los dos lados y sustituye $u = \log x$.)

Estilo Abitur. Simplifica $\log_2 x \cdot \log_x 8$ para $x > 0, x \neq 1$. (Usa la regla de cambio de base.)

Determina el dominio y la imagen de $f(x) = \ln(\ln x)$.

Desafío integrador. (a) Muestra que $f(x) = e^x$ puede descomponerse como suma de una parte par y una parte impar. (b) Identifica esas partes por sus nombres matemáticos canónicos.

Demuestra que toda función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ puede escribirse como suma de una función par y una impar.

Demuestra que si $a, b > 0$ y $a + b = c$ (constante), entonces $a^2 + b^2$ es mínimo cuando $a = b = c/2$.

Demuestra que $\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y$ para $x, y > 0$ y $b > 0, b \neq 1$.

Demuestra que la composición de dos funciones inyectoras es inyectora.

Demuestra que $f(x) = a^x$ es estrictamente creciente cuando $a > 1$, usando la definición de función creciente.

Demuestra que la tasa de variación media de $f(x) = ax + b$ es siempre igual a $a$, independiente del intervalo elegido. Contrasta con el comportamiento de la función cuadrática.