Lección 11 — Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el ángulo agudo $\theta$ tiene cateto opuesto 3 y cateto adyacente 4. Calcula $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$.

Un triángulo rectángulo tiene catetos 5 y 12. Calcula la hipotenusa y $\sin, \cos, \tan$ del ángulo opuesto al cateto 5.

Hipotenusa = 13 y cateto opuesto a $\theta$ vale 5. Calcula $\sin\theta$ y $\cos\theta$.

Calcula $\sin 30°$, $\cos 30°$, $\tan 30°$ exactos.

Calcula $\sin 60°$, $\cos 60°$, $\tan 60°$ exactos.

Calcula $\sin 45°$, $\cos 45°$, $\tan 45°$ exactos.

Si $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ y $\theta$ es agudo, ¿cuál es el valor de $\theta$?

Si $\cos\theta = 1/2$ y $\theta$ es agudo, ¿cuál es el valor de $\theta$?

Si $\tan\theta = 1$ y $\theta$ es agudo, ¿cuál es el valor de $\theta$?

En un triángulo $30°$-$60°$-$90°$ con hipotenusa 10, calcula los catetos.

Si $\sin\theta = 3/5$ y $\theta$ es agudo, calcula $\cos\theta$.

Si $\cos\theta = 5/13$ y $\theta$ es agudo, calcula $\sin\theta$ y $\tan\theta$.

Si $\tan\theta = 2/3$ y $\theta$ es agudo, calcula $\sin\theta$ y $\cos\theta$.

Verifica la identidad $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ usando los valores notables.

Demuestra que $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ a partir de las definiciones en el triángulo rectángulo.

Demuestra que $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ a partir del triángulo rectángulo.

Para $\theta$ agudo, ¿cuál es mayor: $\sin 60°$ o $\cos 60°$? ¿Por qué?

Demuestra que $\sin\theta < 1$ para todo $\theta$ agudo. (Usa la desigualdad triangular.)

Para $\theta_1, \theta_2$ agudos con $\theta_1 < \theta_2$: demuestra que $\sin\theta_1 < \sin\theta_2$ (el seno es creciente en $[0, 90°]$).

Demuestra que $\tan\theta \to +\infty$ cuando $\theta \to 90°^-$.

En un triángulo rectángulo con hipotenusa 20 cm y ángulo agudo $35°$, calcula los catetos. (Usa $\sin 35° \approx 0{,}574$ y $\cos 35° \approx 0{,}819$.)

Cateto opuesto = 6, ángulo $\theta = 40°$. Calcula la hipotenusa. (Usa $\sin 40° \approx 0{,}643$.)

Cateto adyacente = 10, ángulo $\theta = 25°$. Calcula el cateto opuesto. (Usa $\tan 25° \approx 0{,}466$.)

Hipotenusa = 25, cateto opuesto = 7. Calcula el ángulo $\theta$. (Resp: $\arcsin(7/25) \approx 16{,}26°$.)

Catetos 8 y 15. Calcula los dos ángulos agudos.

En un triángulo equilátero de lado $\ell$, calcula la altura usando trigonometría. Compara con el resultado por Pitágoras.

En un cuadrado de lado $\ell$, calcula la diagonal usando trigonometría.

Demuestra que $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45°)$ usando suma de ángulos. (Adelanto Lección 12.)

En un triángulo rectángulo con cateto adyacente $b$ e hipotenusa $c$, expresa $\tan\theta$ en función de $b$ y $c$.

Calcula (sin calculadora) $\sin 75°$. (Pista: $75° = 45° + 30°$. Usa la fórmula de la suma — investiga si es necesario.)

Una escalera de 5 m está apoyada en la pared formando un ángulo de $70°$ con el suelo. ¿A qué altura toca la pared?

Estás a 50 m de la base de una torre. El ángulo de elevación a la cima es $40°$. ¿Cuál es la altura?

Un avión despega y alcanza 1.500 m de altitud horizontalmente a 5 km de la pista. ¿Cuál es el ángulo de subida?

Un barco observa un faro de $200$ m de altura bajo un ángulo de elevación de $3°$. ¿A qué distancia está el barco del faro?

Una rampa de accesibilidad tiene una inclinación máxima de $5°$ (NBR 9050). Para superar 80 cm de altura, ¿cuál es la longitud mínima de la rampa?

En un eclipse solar, la Luna tiene un diámetro angular $0{,}5°$ visto desde la Tierra. Diámetro real: 3.474 km. Calcula la distancia Tierra-Luna. (Usa $\tan(0{,}25°) \approx 0{,}004363$.)

Se aplica una fuerza de 200 N sobre un cuerpo en una dirección que forma $30°$ con la horizontal. Calcula las componentes horizontal y vertical de la fuerza.

Un bloque de 50 kg está sobre una rampa de $20°$. ¿Cuál es la fuerza paralela a la rampa que tiende a hacer deslizar el bloque? ($g = 10$ m/s².)

La torre Eiffel mide 324 m. ¿A qué ángulo ves la cima si estás a 500 m de la base?

Un dron está a 100 m de altura y detecta a una persona en el suelo bajo un ángulo de $30°$ por debajo del horizonte (depresión). ¿Distancia horizontal dron-persona?

Un topógrafo está en un punto $A$ y mide la cima de un cerro bajo un ángulo de $25°$. Camina 100 m hacia el cerro hasta $B$ y el ángulo pasa a $40°$. Calcula la altura del cerro. (Sistema de dos ecuaciones.)

Un cable de acero sostiene una antena de 30 m fijada al suelo a 12 m de la base. ¿Cuál es la longitud del cable? ¿Cuál es el ángulo del cable con el suelo?

En un péndulo de 1 m, el hilo forma un ángulo de $15°$ con la vertical en el extremo. ¿Cuál es la altura del extremo sobre el punto de equilibrio?

El GPS calcula tu posición usando ángulos a 4 satélites. Modelo simplificado 2D: dos satélites en $(0, 20.000)$ km y $(15.000, 25.000)$ km te ven bajo ángulos $\alpha, \beta$ con la vertical. (Esboza, no resuelvas — visualiza la triangulación.)

Una carretera hace una curva en V con subida del $8\%$ seguida de bajada del $5\%$. Calcula los ángulos de subida y bajada en grados.

Demuestra que en un triángulo rectángulo con ángulos $\theta$ y $90° - \theta$, vale $\sin\theta \cdot \cos\theta = \sin(\theta) \cos(90° - \theta)/2$. (Más general: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$.)

En un triángulo rectángulo, demuestra que el área $= \frac{1}{2} c^2 \sin\theta \cos\theta$ donde $c$ es la hipotenusa y $\theta$ uno de los ángulos agudos.

Resuelve: $\sin\theta + \cos\theta = 1$ para $\theta \in [0°, 90°]$.

Demuestra $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ usando el triángulo rectángulo y Pitágoras.

Demuestra que $\sin\theta = \cos(90° - \theta)$ para todo $\theta \in (0°, 90°)$.