Lição 12 — Círculo trigonométrico e radianos

Converta $60°$ para radianos.

Converta $225°$ para radianos.

Converta $120°$ para radianos.

Converta $\pi/3$ rad para graus.

Converta $7\pi/4$ rad para graus.

Converta $1$ rad para graus (resultado aproximado).

Encontre o ângulo coterminal em $[0, 2\pi)$ para (a) $11\pi/4$ e (b) $-\pi/6$.

Converta $-150°$ para radianos.

Converta $\pi/12$ rad para graus.

Converta $400°$ para radianos. Qual o ângulo coterminal em $[0, 2\pi)$?

Calcule $\sin(\pi/6)$ e $\cos(\pi/6)$.

Calcule $\sin(2\pi/3)$ e $\cos(2\pi/3)$.

Calcule $\sin(\pi)$ e $\cos(\pi)$.

Calcule $\sin(3\pi/2)$ e $\cos(3\pi/2)$.

Calcule $\sin(7\pi/6)$ e $\cos(7\pi/6)$.

Calcule $\sin(11\pi/6)$.

Calcule $\cos(5\pi/4)$.

Calcule $\sin(5\pi/3)$.

Calcule $\tan(\pi/3)$.

Calcule $\cos(-\pi/4)$ usando paridade e via redução ao quadrante. Confirme que os dois métodos concordam.

Calcule $\tan(7\pi/6)$.

Calcule $\cos(29\pi/6)$. (Reduza pela periodicidade antes de identificar o quadrante.)

Calcule $\sin(-13\pi/4)$.

Verifique numericamente que $\cos^2(\pi/3) + \sin^2(\pi/3) = 1$.

Use a identidade de paridade para calcular $\sin(-\pi/4)$ sem usar quadrante. Interprete geometricamente.

Prove que $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ usando a fórmula da soma. Dê uma interpretação geométrica.

Prove que $\cos(\pi/2 - \theta) = \sin\theta$ usando a fórmula da diferença de cossenos. Explique por que isso justifica o nome "cosseno".

Derive a identidade $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ a partir da fórmula da soma.

Em qual quadrante encontra-se um ângulo $\theta$ tal que $\sin\theta > 0$ e $\cos\theta < 0$?

Determine todos os $\theta \in [0, 2\pi)$ tais que $\sin\theta = \cos\theta$. (Dica: quando a tangente é 1?)

Prove que $(1 + \tan^2\theta)\cos^2\theta = 1$ para todo $\theta$ com $\cos\theta \neq 0$.

Use a identidade $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ para calcular $\sin(5\pi/6)$ sem usar quadrante.

Um disco de vinil gira a 33 rpm. Calcule a velocidade angular em rad/s.

Um pêndulo descreve arco de 30°. Comprimento do arco se o fio tem $1{,}5$ m?

A rede elétrica brasileira tem frequência $f = 60$ Hz. Qual a velocidade angular $\omega = 2\pi f$ em rad/s?

Motor industrial gira a $1\,800$ rpm. Velocidade angular em rad/s?

Roda de bicicleta com raio $35$ cm. Velocidade linear $20$ km/h. Qual a velocidade angular em rad/s?

A fase de um oscilador é $\theta(t) = \omega t + \varphi$, com $\omega = 2\pi$ rad/s e $\varphi = \pi/4$. Calcule $\theta(0)$ e $\theta(1)$. Qual o ângulo coterminal de $\theta(1)$ em $[0, 2\pi)$?

Verifique que três vetores unitários igualmente espaçados a $120°$ somam zero: $\sum_{k=0}^{2}\cos(2\pi k/3) = 0$ e $\sum_{k=0}^{2}\sin(2\pi k/3) = 0$.

Desafio. Prove que a soma das $N$ raízes da unidade é zero: $\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ik/N} = 0$ para $N \geq 2$. Use a soma de progressão geométrica. Interprete geometricamente como os vértices de um polígono regular.