Lección 14 — Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas

Estructura de las soluciones

Ecuaciones con seno

Para $\sin x = a$ con $a \in [-1, 1]$: $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Donde $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ es la inversa principal.

Ecuaciones con coseno

Para $\cos x = a$ con $a \in [-1, 1]$: $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Donde $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$.

Ecuaciones con tangente

Para $\tan x = a$ con $a \in \mathbb{R}$: $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Donde $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$.

Receta general

Para resolver $f(x) = 0$ trigonométrica:

1. Reducir a ecuaciones básicas $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ vía identidades.
2. Listar todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$ (o $[-\pi, \pi]$).
3. Generalizar sumando $2k\pi$ (o $k\pi$ para tangente).

Tipos de ecuaciones reducibles