Lección 15 — Ley de los senos y ley de los cosenos

Demostraciones y uso

Ley de los senos

Demostración (para triángulo agudo): construye la altura $h$ desde el vértice $C$ al lado $\overline{AB}$. Entonces $h = b \sin A = a \sin B$. Por tanto $a/\sin A = b/\sin B$. Mismo argumento para $c$. ∎

Caso especial (rectángulo en $C$): $\sin C = 1$, entonces $c = 2R$ — la hipotenusa es el diámetro del círculo circunscrito. Teorema de Tales (geométrico).

Ley de los cosenos

Demostración: por el producto escalar de vectores $\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$: $|\vec{AB}|^2 = |\vec{CB}|^2 + |\vec{CA}|^2 - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA}$

Como $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}||\vec{CA}|\cos C = ab \cos C$, se obtiene $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. ∎

Cuándo usar cada ley

Caso ambiguo (SSA)

Dados $a$, $b$, y $A$ (ángulo opuesto a $a$): puede haber 0, 1 o 2 triángulos. Decisión:

• Si $a \geq b$: 1 triángulo.
• Si $a < b \sin A$: 0 triángulos (imposible).
• Si $b \sin A < a < b$: 2 triángulos.

Área del triángulo

$\text{Área} = \frac{1}{2} ab \sin C = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

(Fórmula directa + fórmula de Herón, con semiperímetro $s = (a+b+c)/2$.)