Lección 16 — Sucesiones numéricas

Definición y propiedades

Cómo describir una sucesión

1. Fórmula explícita (término general): $a_n = 2n + 1$ — términos $3, 5, 7, 9, \ldots$
2. Recurrencia: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2$ — mismo resultado.
3. Descripción: "n-ésimo número primo" — $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ (sin fórmula cerrada).

Monotonía

• Creciente: $a_{n+1} > a_n \quad \forall n$.
• No decreciente: $a_{n+1} \geq a_n$.
• Decreciente: $a_{n+1} < a_n$.
• Constante: $a_{n+1} = a_n$.

Acotación

$(a_n)$ está acotada si existe $M > 0$ con $|a_n| \leq M$ para todo $n$. Acotada superiormente si $a_n \leq M_+$; inferiormente si $a_n \geq M_-$.

Convergencia intuitiva (formalizada en la Lección 19)

$(a_n)$ converge a $L$ si "$a_n$ se aproxima arbitrariamente a $L$ cuando $n$ es grande". Formalmente (Lección 41 — Trim 5): $\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \eps > 0, \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \eps$

Sucesiones famosas