Lección 17 — Progresiones aritméticas (PA)

Definición y fórmulas

Término general

$a_n = a_1 + (n-1) r$

Demostración por inducción en $n$. Equivalente a $a_n = a_p + (n-p) r$ para cualquier $p$.

Suma de los $n$ primeros términos

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$

Demostración (Gauss niño, $\sim$1789): escribe $S_n$ dos veces, una en orden creciente, otra decreciente:

$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 \end{aligned}$

Sumando término a término: $2 S_n = n(a_1 + a_n)$, pues cada par suma $a_1 + a_n$. ∎

Propiedades

• Media aritmética: tres términos consecutivos satisfacen $a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2$.
• Creciente si $r > 0$, decreciente si $r < 0$, constante si $r = 0$.
• Suma de los extremos = suma de los términos equidistantes de los extremos: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots$.

Ejemplo numérico

PA con $a_1 = 5$, $r = 3$: términos $5, 8, 11, 14, 17, \ldots$

$a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$. $S_{20} = 20 \cdot (5 + 62)/2 = 670$.

Suma de potencias (vista previa)

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$