Lección 18 — Progresiones geométricas (PG)

Definición y fórmulas

Término general

$a_n = a_1 q^{n-1}$

Suma de los $n$ primeros términos

Para $q \neq 1$: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Demostración: $S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$. Multiplique por $q$: $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ Restando: $q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$, luego $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$. ∎

Suma infinita (PG convergente)

Si $|q| < 1$, $q^n \to 0$ cuando $n \to \infty$. Por lo tanto:

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

Esta es la serie geométrica, pieza central en las series de Taylor (Trim 9).

Comportamiento

• $q > 1$: PG crece exponencialmente.
• $q = 1$: constante.
• $0 < q < 1$: decreciente, converge a 0.
• $q = -1$: oscila $a_1, -a_1, a_1, \ldots$
• $q < -1$: oscila con amplitud creciente.