Lección 19 — Límite intuitivo de sucesiones

Concepto intuitivo

La pregunta central

Dada una sucesión $(a_n)$, ¿a qué valor (si lo hay) se aproximan los términos cuando $n \to \infty$?

Cuando ese valor existe, decimos que la sucesión converge y escribimos $\lim_{n \to \infty} a_n = L$.

Definición intuitiva

$\lim a_n = L$ significa: los términos $a_n$ se vuelven arbitrariamente cercanos a $L$ cuando $n$ es suficientemente grande.

"Arbitrariamente" y "suficientemente" son justamente lo que se formaliza con $\eps$ y $N$ en la Lección 41: $\forall \eps > 0, \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \eps$

Límites notables

Operaciones con límites

Si $\lim a_n = A$ y $\lim b_n = B$ (ambos finitos):

• $\lim(a_n + b_n) = A + B$
• $\lim(a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
• $\lim(a_n / b_n) = A/B$ (si $B \neq 0$)
• $\lim c \cdot a_n = c A$ ($c$ constante)

Sucesiones que NO convergen

• Divergen a $\pm \infty$: $a_n = n$, $a_n = 2^n$.
• Oscilan: $a_n = (-1)^n$ — alterna 1 y $-1$, no tiende a nada.