v1 · padrão canônico

Lección 24 — Ecuación de la circunferencia

Forma reducida (x-a)² + (y-b)² = r². Forma general. Posición relativa entre recta y circunferencia. Tangentes.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10/11 alemã

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Ecuaciones y propiedades

Forma reducida

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Forma general

Expandiendo: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ , con $D = -2a$ , $E = -2b$ , $F = a^2 + b^2 - r^2$ .

Centro recuperado: $(a, b) = (-D/2, -E/2)$ . Radio: $r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}$ (válido si es positivo; en caso contrario, no es un círculo real).

Recta y circunferencia

Posición	Criterio	Puntos comunes
Exterior	$d(C, r) > r$	0
Tangente	$d(C, r) = r$	1
Secante	$d(C, r) < r$	2

Dos círculos

Posición	Criterio
Disjuntos externamente	$d(C_1, C_2) > r_1 + r_2$
Tangentes externamente	$d = r_1 + r_2$
Secantes	$\lvert r_1 - r_2 \rvert \lt d \lt r_1 + r_2$
Tangentes internamente	$d = \lvert r_1 - r_2 \rvert$
Uno dentro del otro	$d \lt \lvert r_1 - r_2 \rvert$

Propiedad tangente-radio

La tangente en $P$ es perpendicular al radio $\overline{CP}$ .

Ecuación de la tangente

Tangente en $(x_0, y_0)$ al círculo $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ : $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 8Challenge 3Proof 2

Ex. 24.1Application
Ecuación de la circunferencia centro $(0,0)$ radio $5$ . (Resp.: $x^2 + y^2 = 25$ .)
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Ex. 24.2ApplicationAnswer key
Ecuación centro $(2, 3)$ radio $4$ .
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Ex. 24.3Application
Centro $(-1, 5)$ radio $\sqrt{10}$ .
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Ex. 24.4Application
A partir de la ecuación $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$ , identifica centro y radio. (Resp.: $C = (3, -2)$ , $r = 4$ .)
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Ex. 24.5Application
A partir de la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ , identifica centro y radio (completa cuadrado). (Resp.: $(2, -3), r = 5$ .)
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Ex. 24.6Application
Verifica si $(3, 4)$ pertenece a la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ .
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Ex. 24.7Application
Posición relativa de $(0,0)$ respecto a $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$ : ¿interno o externo?
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Ex. 24.8Application
Ecuación del círculo de diámetro $\overline{(0,0)(6,8)}$ .
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Ex. 24.9Application
Encuentra los puntos de intersección de $y = x$ con $x^2 + y^2 = 8$ .
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Ex. 24.10Application
Verifica si $y = x + 5$ es tangente, secante o exterior a $x^2 + y^2 = 16$ .
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Ex. 24.11ApplicationAnswer key
Distancia de $(3, 4)$ al centro $(0,0)$ : ¿está dentro o fuera del círculo $r=5$ ? (Resp.: en el borde.)
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Ex. 24.12Application
Circunferencia que pasa por $(0,0), (4,0), (0,3)$ : determínala.
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Ex. 24.13Application
Circunferencia tangente al eje $x$ en $(3, 0)$ con radio $5$ : determina la ecuación.
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Ex. 24.14ApplicationAnswer key
Determina los puntos de tangencia de $y = x$ con $x^2 + y^2 - 4x = 0$ .
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Ex. 24.15Application
¿La ecuación $x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = 0$ representa un círculo? (Resp.: no, radio $^2 < 0$ .)
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Ex. 24.16Modeling
Una antena emite una señal en un radio de 30 km. Centro en $(0, 0)$ . Ecuación de la frontera de cobertura.
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Ex. 24.17ModelingAnswer key
Dos terremotos: epicentro 1 en $(0, 0)$ , alcance 100 km; epicentro 2 en $(120, 0)$ , alcance 150 km. Ecuación de las dos fronteras. ¿Puntos con temblor de ambos?
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Ex. 24.18Modeling
GPS: 3 satélites en $(0,0), (10,0), (5,8)$ miden distancias $5, 8, 6$ . (Trilateración: sistema de 3 círculos.)
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Ex. 24.19Modeling
El radio mínimo de curva de carretera para velocidad $v$ es $r = v^2/(\mu g)$ . Para $v = 30$ m/s, $\mu = 0{,}7$ , $g = 9{,}81$ , calcula.
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Ex. 24.20ModelingAnswer key
Pista circular de atletismo con circunferencia 400 m. ¿Radio?
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Ex. 24.21Application
Encuentra la tangente a $x^2 + y^2 = 25$ en el punto $(3, 4)$ . (Resp.: $3x + 4y = 25$ .)
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Ex. 24.22Application
Tangente externa desde $(7, 0)$ al círculo $x^2 + y^2 = 9$ .
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Ex. 24.23ApplicationAnswer key
Longitud de la tangente externa desde $(5, 0)$ al círculo $x^2 + y^2 = 4$ . (Resp.: $\sqrt{21}$ .)
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Ex. 24.24Application
Determina el punto de $x^2 + y^2 = 25$ más cercano a $(7, 0)$ . (Resp.: $(5, 0)$ .)
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Ex. 24.25Application
Centro del círculo que pasa por $(1, 0), (-1, 0), (0, 1)$ .
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Ex. 24.26Modeling
Dron con alcance 2 km de la base. Trayectoria recta hacia el objetivo: ¿cruza la frontera en qué puntos?
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Ex. 24.27ModelingAnswer key
Dos satélites GPS-like en órbita circular de radios $r_1 = 6{.}500$ km y $r_2 = 7{.}000$ km. Demuestra que están en órbitas concéntricas (no se cruzan).
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Ex. 24.28Understanding
Demuestra que toda ecuación $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ con $D^2 + E^2 - 4F > 0$ es un círculo.
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Ex. 24.29Understanding
Demuestra que dos círculos tangentes externamente tienen distancia entre los centros $= r_1 + r_2$ .
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Ex. 24.30ModelingAnswer key
En estadística, la regresión Ridge con $\beta_1^2 + \beta_2^2 \leq c$ define un disco. La solución es donde la elipse de error toca el disco.
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Ex. 24.31Challenge
Círculo más grande inscrito en el triángulo de vértices $(0,0), (6,0), (0,8)$ .
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Ex. 24.32Challenge
Determina las 4 rectas tangentes comunes a los círculos $x^2 + y^2 = 1$ y $(x-5)^2 + y^2 = 4$ .
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Ex. 24.33Challenge
El lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $|PA|/|PB| = k \neq 1$ es un círculo (círculo de Apolonio).
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Ex. 24.34Proof
Demuestra que la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
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Ex. 24.35Proof
Demuestra la fórmula de la potencia de un punto: $|PA| \cdot |PB| = |PC|^2 - r^2$ (constante para cualquier secante por $P$ ).
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Fuentes

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2.ª ed. · EN · CC-BY · §10.1: cónicas y círculos. Fuente primaria.
College Algebra — OpenStax · 2022, 2.ª ed. · EN · CC-BY.
Geometria e Trigonometria — Wikilibros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA.