Lección 25 — Cónicas: elipse, parábola, hipérbola

Ecuaciones canónicas

Elipse

Suma de las distancias a 2 focos es constante: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Donde $a > b > 0$. Focos en $(\pm c, 0)$ con $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Eje mayor $= 2a$, menor $= 2b$. Excentricidad $e = c/a \in [0, 1)$. Cuando $a = b$, es círculo.

Parábola

Distancia al foco $=$ distancia a la directriz: $y^2 = 4px$

Foco en $(p, 0)$, directriz $x = -p$.

Hipérbola

Diferencia de las distancias a 2 focos es constante: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Focos en $(\pm c, 0)$ con $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Excentricidad $e = c/a > 1$. Asíntotas $y = \pm (b/a) x$.

Tabla de las tres cónicas

Forma general de cónica

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

Discriminante $\Delta = B^2 - 4AC$:

• $\Delta < 0$: elipse (o círculo si $A=C, B=0$).
• $\Delta = 0$: parábola.
• $\Delta > 0$: hipérbola.