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v1 · padrão canônico

Lección 26 — Vectores en el plano

Vector como objeto con módulo, dirección y sentido. Adición, multiplicación por escalar, descomposición.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math I japonês §A — Vetores · Equiv. Klasse 11 alemã — Vektoren

v⃗=(v1,v2),∣v⃗∣=v12+v22,u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{v} = (v_1, v_2), \quad |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}, \quad \vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2)
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Vectores en ℝ²

Operaciones

  • Suma: u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2).
  • Escalar: αv⃗=(αv1,αv2)\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2).
  • Resta: u⃗−v⃗=(u1−v1,u2−v2)\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2).

Módulo (norma)

∣v⃗∣=v12+v22|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}

Vector unitario

v^=v⃗/∣v⃗∣\hat v = \vec v / |\vec v| tiene módulo 1. Versor.

Vectores canónicos

ı^=(1,0)\hat\imath = (1, 0), ȷ^=(0,1)\hat\jmath = (0, 1). Todo vector: v⃗=v1ı^+v2ȷ^\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath.

Forma polar

v⃗=(∣v⃗∣cos⁡θ,∣v⃗∣sin⁡θ)\vec v = (|\vec v|\cos\theta, |\vec v|\sin\theta) donde θ\theta es el ángulo con el eje xx positivo.

Propiedades (8 axiomas de espacio vectorial)

PropiedadExpresión
Conmutativau⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec u + \vec v = \vec v + \vec u
Asociativa(u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)
Identidadv⃗+0⃗=v⃗\vec v + \vec 0 = \vec v
Opuestov⃗+(−v⃗)=0⃗\vec v + (-\vec v) = \vec 0
Distributiva (escalar/vector)α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\alpha(\vec u + \vec v) = \alpha\vec u + \alpha\vec v
Distributiva (vector/escalar)(α+β)v⃗=αv⃗+βv⃗(\alpha + \beta)\vec v = \alpha\vec v + \beta\vec v
Compatibilidadα(βv⃗)=(αβ)v⃗\alpha(\beta\vec v) = (\alpha\beta)\vec v
Identidad escalar1⋅v⃗=v⃗1 \cdot \vec v = \vec v

Estas 8 propiedades caracterizan un espacio vectorial: se ven formalmente en álgebra lineal (Trimestre 12).

Regla del paralelogramo

u⃗+v⃗\vec u + \vec v es la diagonal del paralelogramo formado por u⃗\vec u y v⃗\vec v.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 1Modeling 12Challenge 1Proof 1
  1. Ex. 26.1Application
    Calcula (3,4)+(1,2)(3, 4) + (1, 2). (Resp.: (4,6)(4, 6).)
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  2. Ex. 26.2Application
    Calcula 2⋅(3,−1)2 \cdot (3, -1). (Resp.: (6,−2)(6, -2).)
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  3. Ex. 26.3Application
    Calcula (5,7)−(2,3)(5, 7) - (2, 3).
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  4. Ex. 26.4ApplicationAnswer key
    Módulo de (3,4)(3, 4). (Resp.: 5.)
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  5. Ex. 26.5Application
    Módulo de (5,−12)(5, -12). (Resp.: 13.)
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  6. Ex. 26.6Application
    Vector unitario en la dirección de (6,8)(6, 8). (Resp.: (3/5,4/5)(3/5, 4/5).)
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  7. Ex. 26.7ApplicationAnswer key
    Para u⃗=(1,2)\vec u = (1, 2), v⃗=(3,−1)\vec v = (3, -1): calcula u⃗+v⃗\vec u + \vec v, 2u⃗−v⃗2\vec u - \vec v, ∣u⃗+v⃗∣|\vec u + \vec v|.
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  8. Ex. 26.8Application
    Demuestra que (3,4)(3, 4) y (−3,−4)(-3, -4) son opuestos.
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  9. Ex. 26.9Application
    Descompón v⃗=(5,5)\vec v = (5, 5) en la base canónica (ı^,ȷ^)(\hat\imath, \hat\jmath).
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  10. Ex. 26.10Application
    Vector con el mismo módulo de (3,4)(3, 4) pero dirección opuesta.
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  11. Ex. 26.11ApplicationAnswer key
    Vector de módulo 10 en la dirección de (3,4)(3, 4). (Resp.: (6,8)(6, 8).)
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  12. Ex. 26.12Application
    Encuentra v⃗\vec v tal que v⃗+(2,−1)=(5,7)\vec v + (2, -1) = (5, 7).
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  13. Ex. 26.13Application
    Demuestra ∣αv⃗∣=∣α∣∣v⃗∣|\alpha \vec v| = |\alpha| |\vec v| para α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
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  14. Ex. 26.14Application
    El vector de A=(1,2)A = (1, 2) a B=(5,8)B = (5, 8) es AB⃗\vec{AB}. Calcúlalo. (Resp.: (4,6)(4, 6).)
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  15. Ex. 26.15Application
    Triángulo A=(0,0)A = (0,0), B=(4,0)B = (4,0), C=(2,3)C = (2, 3). Calcula AB⃗\vec{AB}, BC⃗\vec{BC}, CA⃗\vec{CA} y demuestra que suman cero.
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  16. Ex. 26.16Application
    Vector unitario en la dirección del eje yy positivo: ȷ^=(0,1)\hat\jmath = (0, 1).
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  17. Ex. 26.17Application
    Para u⃗=(4,3)\vec u = (4, 3), calcula un vector perpendicular del mismo módulo. (Resp.: (−3,4)(-3, 4) o (3,−4)(3, -4).)
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  18. Ex. 26.18Application
    ¿Para qué kk se cumple ∣(k,3)∣=5|(k, 3)| = 5? (Resp.: k=±4k = \pm 4.)
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  19. Ex. 26.19Application
    Determina α,β\alpha, \beta tales que α(1,0)+β(0,1)=(3,7)\alpha(1, 0) + \beta(0, 1) = (3, 7).
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  20. Ex. 26.20Application
    Combinación lineal w⃗=2u⃗−3v⃗\vec w = 2\vec u - 3\vec v con u⃗=(1,2)\vec u = (1,2), v⃗=(−1,1)\vec v = (-1, 1).
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  21. Ex. 26.21Modeling
    En mecánica, la fuerza F⃗1=(3,4)\vec F_1 = (3, 4) N y F⃗2=(−1,2)\vec F_2 = (-1, 2) N actúan sobre un cuerpo. ¿Resultante? (Resp.: (2,6)(2, 6) N.)
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  22. Ex. 26.22Modeling
    Río con corriente c⃗=(3,0)\vec c = (3, 0) km/h, barco con motor m⃗=(0,4)\vec m = (0, 4) km/h. Velocidad resultante. ¿Trayectoria sale de la orilla?
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  23. Ex. 26.23Modeling
    Aviador a 500 km/h en rumbo 060°060° NE con viento de 8080 km/h procedente del este. Velocidad resultante (módulo y ángulo).
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  24. Ex. 26.24ModelingAnswer key
    Trayectoria de un avión bajo 2 vientos consecutivos: v⃗1=(200,100)\vec v_1 = (200, 100) en el primer tramo, v⃗2=(300,−50)\vec v_2 = (300, -50) en el segundo. Tiempo de cada tramo: 1 h. ¿Posición final?
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  25. Ex. 26.25Modeling
    En enrutamiento de paquetes en red, el vector de saltos es (lat, long, lat, long, ...): modela 3 saltos consecutivos.
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  26. Ex. 26.26ModelingAnswer key
    En videojuegos, un jugador en (10,20)(10, 20) se mueve con velocidad (5,−3)(5, -3) por segundo. ¿Posición a los 4 s? (Resp.: (30,8)(30, 8).)
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  27. Ex. 26.27Modeling
    Embeddings en ML: la palabra "rey" ≈(0.3,0.5,0.2,...)\approx (0.3, 0.5, 0.2, ...), "reina" ≈(0.3,0.6,0.1,...)\approx (0.3, 0.6, 0.1, ...). La distancia vectorial es proximidad semántica.
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  28. Ex. 26.28Modeling
    En GPS, tu posición es un vector 3D. El movimiento es un vector velocidad. La aceleración instantánea reportada por el acelerómetro: vector.
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  29. Ex. 26.29ModelingAnswer key
    En estática, 3 cables tiran del punto PP con fuerzas F⃗1=(5,0)\vec F_1 = (5, 0), F⃗2=(−3,4)\vec F_2 = (-3, 4), F⃗3=(?,?)\vec F_3 = (?, ?). Para el equilibrio, F⃗3=?\vec F_3 = ?. (Resp.: (−2,−4)(-2, -4).)
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  30. Ex. 26.30ModelingAnswer key
    En robótica 2D, un brazo con 2 segmentos. Primer segmento en la dirección u⃗1=(cos⁡30°,sin⁡30°)⋅50\vec u_1 = (\cos 30°, \sin 30°) \cdot 50 cm. Segundo en la dirección u⃗2\vec u_2. La posición final es u⃗1+u⃗2\vec u_1 + \vec u_2.
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  31. Ex. 26.31Modeling
    Un dron con 4 motores que impulsan F⃗1,F⃗2,F⃗3,F⃗4\vec F_1, \vec F_2, \vec F_3, \vec F_4. Para hover, la suma debe compensar la gravedad G⃗=(0,−mg)\vec G = (0, -mg).
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  32. Ex. 26.32Modeling
    En quant finance, el retorno de un portfolio es la combinación lineal r⃗=w1a⃗+w2b⃗\vec r = w_1 \vec a + w_2 \vec b de retornos de los activos a⃗,b⃗\vec a, \vec b con pesos w1,w2w_1, w_2.
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  33. Ex. 26.33Understanding
    Demuestra que si u⃗+v⃗=0⃗\vec u + \vec v = \vec 0, entonces v⃗=−u⃗\vec v = -\vec u.
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  34. Ex. 26.34Challenge
    Un vector v⃗\vec v tiene módulo 10 y forma ángulo de 60°60° con el eje xx positivo. ¿Componentes? (Resp.: (5,53)(5, 5\sqrt 3).)
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  35. Ex. 26.35ProofAnswer key
    Demuestra la desigualdad triangular ∣u⃗+v⃗∣≤∣u⃗∣+∣v⃗∣|\vec u + \vec v| \leq |\vec u| + |\vec v| mediante la expansión de ∣u⃗+v⃗∣2|\vec u + \vec v|^2.
    Solve online

Fuentes

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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