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v1 · padrão canônico

Lección 27 — Producto escalar

Producto interno (dot product). Ángulo entre vectores, proyección, ortogonalidad. Trabajo mecánico.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã · Precalculus §11.8 (US)

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición y propiedades

Propiedades

  • Conmutativa: u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u.
  • Distributiva: u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w.
  • Lineal en el escalar: (αu⃗)⋅v⃗=α(u⃗⋅v⃗)(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v).
  • Positiva: u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2≥0\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0, con igualdad   ⟺  u⃗=0⃗\iff \vec u = \vec 0.

Signo y geometría

u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec vcos⁡θ\cos\thetaÁngulo
>0> 0>0> 0agudo θ<90°\theta < 90°
=0= 000recto, θ=90°\theta = 90° (ortogonales)
<0< 0<0< 0obtuso θ>90°\theta > 90°

Ortogonalidad

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0.

Ángulo

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}

Proyección

Proyección de u⃗\vec u en la dirección de v⃗\vec v: projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v

Magnitud (escalar) de la proyección: u⃗⋅v⃗∣v⃗∣\frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|}.

Aplicación central: trabajo mecánico

W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d: el trabajo de una fuerza es su producto escalar con el desplazamiento.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Modeling 12Challenge 2Proof 1
  1. Ex. 27.1ApplicationAnswer key
    (3,4)⋅(1,2)(3, 4) \cdot (1, 2). (Resp.: 11.)
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  2. Ex. 27.2Application
    (2,−1)⋅(3,5)(2, -1) \cdot (3, 5). (Resp.: 1.)
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  3. Ex. 27.3Application
    (0,0)⋅v⃗(0, 0) \cdot \vec v para cualquier v⃗\vec v. (Resp.: 0.)
    Solve online
  4. Ex. 27.4Application
    Verifica si (3,4)(3, 4) y (−4,3)(-4, 3) son perpendiculares. (Resp.: sí, dot = 0.)
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  5. Ex. 27.5Application
    ¿Para qué kk se cumple (2,k)⋅(3,1)=0(2, k) \cdot (3, 1) = 0? (Resp.: k=−6k = -6.)
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  6. Ex. 27.6ApplicationAnswer key
    Ángulo entre (1,0)(1, 0) y (1,1)(1, 1). (Resp.: 45°.)
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  7. Ex. 27.7Application
    Ángulo entre (3,4)(3, 4) y (4,3)(4, 3).
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  8. Ex. 27.8Application
    Demuestra ∣v⃗∣2=v⃗⋅v⃗|\vec v|^2 = \vec v \cdot \vec v para v⃗=(2,3)\vec v = (2, 3).
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  9. Ex. 27.9Application
    Proyección de (4,3)(4, 3) sobre (1,0)(1, 0). (Resp.: (4,0)(4, 0).)
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  10. Ex. 27.10Application
    Proyección de (4,3)(4, 3) sobre (0,1)(0, 1).
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  11. Ex. 27.11Application
    Proyección de (3,5)(3, 5) sobre (1,1)(1, 1).
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  12. Ex. 27.12Application
    Descomposición de (3,5)(3, 5) en paralela + perpendicular a (1,0)(1, 0).
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  13. Ex. 27.13ApplicationAnswer key
    Para u⃗=(1,2),v⃗=(3,−1)\vec u = (1, 2), \vec v = (3, -1): ¿ángulo entre ellos?
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  14. Ex. 27.14ApplicationAnswer key
    Vector unitario ortogonal a (2,1)(2, 1). (Resp.: (±1,∓2)/5(\pm 1, \mp 2)/\sqrt 5.)
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  15. Ex. 27.15Application
    Encuentra un vector de módulo 5 perpendicular a (3,4)(3, 4).
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  16. Ex. 27.16Application
    Coseno del ángulo entre (1,0)(1, 0) y (0,1)(0, 1). (Resp.: 0.)
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  17. Ex. 27.17ApplicationAnswer key
    u⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec u es siempre no negativo. Demuéstralo.
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  18. Ex. 27.18Application
    Para u⃗=(3,0),v⃗=(0,4)\vec u = (3, 0), \vec v = (0, 4): u⃗⋅v⃗=?\vec u \cdot \vec v = ?.
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  19. Ex. 27.19Application
    Para u⃗=(2,3),v⃗=(−3,2)\vec u = (2, 3), \vec v = (-3, 2): ¿ortogonales? ¿Ángulo? (Resp.: sí, 90°.)
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  20. Ex. 27.20Application
    ¿Para qué θ\theta entre vectores no nulos se cumple u⃗⋅v⃗<0\vec u \cdot \vec v < 0?
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  21. Ex. 27.21Modeling
    Trabajo de la fuerza F⃗=(10,5)\vec F = (10, 5) N sobre el desplazamiento d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m: W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d. (Resp.: 50 J.)
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  22. Ex. 27.22ModelingAnswer key
    La fuerza F⃗=(5,0)\vec F = (5, 0) N tira de una caja por d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m. Trabajo útil = proyección de F⃗\vec F en la dirección de d⃗\vec d multiplicada por ∣d⃗∣|\vec d|.
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  23. Ex. 27.23Modeling
    En una rampa, la fuerza gravitacional g⃗=(0,−mg)\vec g = (0, -mg) proyectada en la dirección de la rampa (cos⁡θ,−sin⁡θ)(\cos\theta, -\sin\theta). Componente paralela al plano = mgsin⁡θmg \sin\theta.
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  24. Ex. 27.24Modeling
    En ML, similitud del coseno entre dos embeddings: cos⁡θ=u⃗⋅v⃗/(∣u⃗∣∣v⃗∣)\cos\theta = \vec u \cdot \vec v / (|\vec u||\vec v|). Para (0.3,0.5)(0.3, 0.5) y (0.6,0.4)(0.6, 0.4), calcula.
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  25. Ex. 27.25Modeling
    En recomendación, dos usuarios tienen vectores de notas (5,4,3,5,2)(5,4,3,5,2) y (4,5,3,4,3)(4,5,3,4,3). ¿Coseno?
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  26. Ex. 27.26Modeling
    En filtro digital, correlación entre la señal (1,2,1,0)(1, 2, 1, 0) y el modelo (1,1,0,0)(1, 1, 0, 0) vía producto escalar. (Resp.: 3.)
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  27. Ex. 27.27Modeling
    Trabajo no trivial: una fuerza perpendicular al movimiento hace cero trabajo (θ=90°\theta = 90°, cos⁡=0\cos = 0).
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  28. Ex. 27.28Modeling
    Ley de Lambert (iluminación): intensidad I=I0n⃗⋅ℓ^I = I_0 \vec n \cdot \hat\ell: producto escalar normal-dirección de la luz.
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  29. Ex. 27.29Modeling
    En GPS, proyección del error radial en la dirección tangencial vía producto escalar.
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  30. Ex. 27.30Modeling
    En Transformer (mecanismo de atención), score = Q⋅K/dQ \cdot K / \sqrt d. Para Q=(1,2),K=(3,4),d=2Q = (1, 2), K = (3, 4), d = 2, calcula.
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  31. Ex. 27.31ModelingAnswer key
    En quant finance, el retorno del portfolio es rp=w⃗⋅r⃗r_p = \vec w \cdot \vec r con pesos w⃗\vec w y retornos r⃗\vec r. Para w⃗=(0,5,0,3,0,2)\vec w = (0{,}5, 0{,}3, 0{,}2) y r⃗=(0,10,0,08,−0,02)\vec r = (0{,}10, 0{,}08, -0{,}02), calcula.
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  32. Ex. 27.32Modeling
    Flujo eléctrico Φ=E⃗⋅A⃗\Phi = \vec E \cdot \vec A. Para E⃗=(5,3)\vec E = (5, 3) N/C y A⃗=(0,2,0,1)\vec A = (0{,}2, 0{,}1) m², calcula.
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  33. Ex. 27.33ChallengeAnswer key
    Demuestra la desigualdad de Cauchy-Schwarz ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣u⃗∣∣v⃗∣|\vec u \cdot \vec v| \leq |\vec u||\vec v|. (Usa ∣u⃗+tv⃗∣2≥0|\vec u + t\vec v|^2 \geq 0 para todo tt.)
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  34. Ex. 27.34Proof
    Demuestra la ley del coseno vectorial: ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2u⃗⋅v⃗|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2 \vec u \cdot \vec v.
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  35. Ex. 27.35Challenge
    Demuestra que u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec u||\vec v|\cos\theta usando la ley del coseno.
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Fuentes

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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