Lección 29 — Sistemas lineales 2x2 y 3x3

Métodos y teoría

Métodos de resolución

1. Sustitución: aislar una variable y sustituirla en la otra.
2. Adición (eliminación): combinar ecuaciones para eliminar una variable.
3. Cramer: razón de determinantes.
4. Eliminación (Gauss): triangularizar la matriz.
5. Matriz inversa: $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$.

Cramer 2x2

Para $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ con $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Cramer 3x3

Determinante 3x3 (Sarrus): $\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$

$x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

donde $A_i$ tiene la $i$-ésima columna sustituida por $\vec b$.

Clasificación por determinante

Eliminación (Gauss)

Operaciones elementales:

1. Intercambiar dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuación por escalar no nulo.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.

Objetivo: triangular superior. Después, sustitución regresiva.