v1 · padrão canônico

Lección 30 — Consolidación Trimestre 3: geometría analítica + vectores

Workshop integrador de las lecciones 21-29: geometría analítica, cónicas, vectores, sistemas lineales.

Used in: 1.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Math II japonês — geometria analítica plana · Equiv. Klasse 10/11 alemã — Analytische Geometrie

d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2, \quad y = mx + n, \quad \vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2, \quad A\mathbf x = \mathbf b

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntesis del Trimestre 3

Mapa de fórmulas clave

Tema	Fórmula	Lecciones
Distancia		21
Punto medio		21
Ecuación recta		22
Pendiente		22
Paralelas		23
Perpendiculares		23
Distancia punto-recta		23
Círculo		24
Elipse		25
Parábola		25
Hipérbola		25
Suma vectores	componente a componente	26
Módulo vector		26
Producto escalar		27
Trabajo		28
2.ª Newton		28
Cramer 2x2		29

Estilo de los problemas (35 ejercicios)

Aplicación combinada (~15): geometría + álgebra.
Modelización (~10): física vectorial, telecomunicaciones, trayectorias, finanzas.
Desafío (~7): nivel Olimpiada Brasileña / ITA / IME.
Demostración (~3): consolidar prueba rigurosa.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 12Modeling 13Challenge 5Proof 5

Ex. 30.1Application
Distancia entre $(2, 5)$ y $(8, 13)$ . (Resp.: 10.)
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Ex. 30.2Application
Ecuación de la recta que pasa por $(0, 4)$ paralela a $y = 2x - 3$ .
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Ex. 30.3Application
Mediatriz de $\overline{(0,0)(6,0)}$ : ecuación. (Resp.: $x = 3$ .)
Solve online
Ex. 30.4Application
Centro del círculo $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ . (Resp.: $(3, -2)$ .)
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Ex. 30.5Application
Posición relativa de $(5, 5)$ respecto a $x^2 + y^2 = 25$ . (Resp.: exterior, dist. $5\sqrt 2 > 5$ .)
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Ex. 30.6ApplicationAnswer key
Ecuación de la parábola con foco $(3, 0)$ y directriz $x = -3$ . (Resp.: $y^2 = 12x$ .)
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Ex. 30.7Application
Excentricidad de $x^2/16 + y^2/9 = 1$ .
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Ex. 30.8ApplicationAnswer key
Tangente a $x^2 + y^2 = 25$ en $(3, 4)$ .
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Ex. 30.9Modeling
Sirena policial: cobertura en radio 500 m. Ecuación de la frontera con la sirena en $(0,0)$ .
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Ex. 30.10Modeling
Antena 4G cubre 2 km. Para 4 antenas en $(0,0), (3,0), (0,3), (3,3)$ , ¿qué región tiene cobertura múltiple?
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Ex. 30.11Application
$(2, -1) + 3 \cdot (1, 2)$ . (Resp.: $(5, 5)$ .)
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Ex. 30.12Application
Ángulo entre $(3, 4)$ y $(1, 0)$ .
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Ex. 30.13ApplicationAnswer key
Proyección de $(5, 12)$ sobre $(0, 1)$ . (Resp.: $(0, 12)$ .)
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Ex. 30.14Modeling
Trabajo de $\vec F = (8, 6)$ N para desplazar un objeto $\vec d = (3, 0)$ m. (Resp.: 24 J.)
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Ex. 30.15Modeling
Masa de 5 kg en rampa 30°. Aceleración de descenso (sin rozamiento). (Resp.: $g/2 \approx 4{,}9$ m/s².)
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Ex. 30.16Modeling
Avión 700 km/h rumbo NE con viento 100 km/h del este. Velocidad resultante.
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Ex. 30.17ModelingAnswer key
Dos cables sostienen una masa de 200 kg, ángulos de $30°$ y $45°$ con la vertical. Tensión en cada cable.
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Ex. 30.18Modeling
En DSP, similitud del coseno entre $(0.5, 0.8, 0.3)$ y $(0.3, 0.6, 0.4)$ .
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Ex. 30.19ModelingAnswer key
En Transformer, score de atención para $Q = (1, 1)$ , $K = (3, 4)$ es $Q \cdot K / \sqrt 2$ .
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Ex. 30.20Modeling
Lanzamiento balístico: $v_0 = 30$ m/s a $45°$ . ¿Alcance horizontal? (Resp.: $\approx 91{,}7$ m.)
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Ex. 30.21Application
Resuelve $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$ . (Resp.: $(\frac{9}{7}, \frac{20}{7})$ .)
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Ex. 30.22Modeling
Mezcla: 30% y 60% para obtener 100 L al 45%. Encuéntrala. (Resp.: 50 L de cada.)
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Ex. 30.23Modeling
Tienda vende 2 productos. 5A + 3B = 110 €, 2A + 4B = 80 €. Precios. (Resp.: A=10, B=15.)
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Ex. 30.24Modeling
Triangulación GPS: 3 satélites en $(0,0), (10,0), (0,10)$ miden distancias $\sqrt{50}, \sqrt{50}, \sqrt{50}$ . ¿Tu posición?
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Ex. 30.25Modeling
Markowitz con 2 activos: minimizar $w_1^2 + 2w_2^2$ sujeto a $w_1 + w_2 = 1$ . ¿Pesos óptimos? (Resp.: $w_1 = 2/3, w_2 = 1/3$ .)
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Ex. 30.26Challenge
Círculo más grande inscrito en triángulo de vértices $(0,0), (10,0), (0,6)$ .
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Ex. 30.27Challenge
Determina la elipse que pasa por $(0, 0), (4, 0), (2, 3)$ con eje mayor horizontal.
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Ex. 30.28Challenge
Recta $r$ tangente al círculo $x^2 + y^2 = 4$ paralela a $y = x + 1$ . ¿Ecuación?
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Ex. 30.29Challenge
El vector $\vec v$ tiene módulo $\sqrt{20}$ , es perpendicular a $(3, 1)$ y tiene $v_2 > 0$ . ¿Componentes?
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Ex. 30.30ChallengeAnswer key
Sistema $\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{cases}$ : ¿para qué $a$ tiene (a) solución única, (b) infinitas soluciones, (c) ninguna?
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Ex. 30.31Proof
Demuestra que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa es diámetro del círculo circunscrito (Tales).
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Ex. 30.32Proof
Demuestra Cauchy-Schwarz para $\mathbb{R}^2$ usando producto escalar.
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Ex. 30.33ProofAnswer key
Demuestra la fórmula de la distancia punto-recta usando proyección vectorial.
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Ex. 30.34ProofAnswer key
Demuestra que la mediatriz de un segmento es perpendicular al segmento y pasa por el punto medio.
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Ex. 30.35Proof
Demuestra que la suma de los vectores de los lados de cualquier polígono cerrado es cero.
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Fuentes

Lección de consolidación reúne fuentes de las lecciones 21-29:

College Algebra — OpenStax · 2022, 2.ª ed. · EN · CC-BY · §2, §10.
Algebra and Trigonometry — OpenStax · 2022, 2.ª ed. · EN · CC-BY · §10.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4.ª ed. · EN · CC-BY-NC · cap. 1, 6.
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · caps. V, O, SLE.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY · cap. 2-7: cinemática y dinámica vectorial.
Premio Nobel de Economía 1990 — Markowitz, Miller, Sharpe · teoría moderna del portfolio.
Premio Nobel de Economía 1997 — Merton, Scholes · valoración de derivados.

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