v1 · padrão canônico

Lección 31 — Introducción a las matrices

Matriz como tabla rectangular de números. Notación, dimensiones, igualdad, tipos especiales.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10 alemã · Pré-cálculo norte-americano §11.5

A = (a_{ij})_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición y tipos

Tipos especiales

Tipo	Definición
Cuadrada	$m = n$
Fila	$1 \times n$
Columna	$m \times 1$
Diagonal	cuadrada con $a_{ij} = 0$ para $i \neq j$
Identidad $I_n$	diagonal con $a_{ii} = 1$
Nula $O$	todos los elementos nulos
Triangular superior	$a_{ij} = 0$ para $i > j$
Triangular inferior	$a_{ij} = 0$ para $i < j$
Simétrica	$A^T = A$ , es decir $a_{ij} = a_{ji}$
Antisimétrica	$A^T = -A$ , es decir $a_{ij} = -a_{ji}$
Escalar	diagonal con $a_{ii} = k$ constante

Diagonal de matriz cuadrada

La diagonal principal es $\{a_{ii}\}$ . Traza: $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ .

Ley de formación

A menudo se define $A$ mediante la fórmula $a_{ij} = f(i, j)$ . Ejemplos:

$a_{ij} = i + j$
$a_{ij} = (-1)^{i+j}$
$a_{ij} = \delta_{ij}$ (delta de Kronecker: genera la identidad)

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 6Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 31.1Application
Identifica la dimensión de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $3 \times 2$ .)
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Ex. 31.2Application
Escribe una matriz $3 \times 3$ identidad.
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Ex. 31.3Application
Escribe una matriz nula $2 \times 4$ .
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Ex. 31.4Application
Para $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , identifica $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ . (Resp.: $5, -2, 3, 4$ .)
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Ex. 31.5ApplicationAnswer key
Construye la matriz $A_{2 \times 3}$ tal que $a_{ij} = i + j$ .
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Ex. 31.6ApplicationAnswer key
Construye $A_{3 \times 3}$ tal que $a_{ij} = i \cdot j$ .
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Ex. 31.7ApplicationAnswer key
Verifica si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ es simétrica. (Resp.: sí.)
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Ex. 31.8Application
Verifica si $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ es antisimétrica.
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Ex. 31.9ApplicationAnswer key
Traza de $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $15$ .)
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Ex. 31.10Application
¿Para qué $x$ se cumple $\begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ ?
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Ex. 31.11ApplicationAnswer key
Construye una matriz triangular superior $3 \times 3$ cualquiera.
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Ex. 31.12Application
Construye matriz diagonal $3 \times 3$ con diagonales $2, -1, 5$ . Calcula la traza. (Resp.: $6$ .)
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Ex. 31.13Application
Identifica el elemento $a_{32}$ de $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $8$ .)
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Ex. 31.14Application
Para $A_{m \times n}$ con $m = n$ , ¿cuál es la clase de la matriz?
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Ex. 31.15ApplicationAnswer key
¿Cuántos elementos tiene la matriz $4 \times 5$ ? (Resp.: $20$ .)
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Ex. 31.16Application
Construye $A_{2 \times 2}$ con $a_{ij} = (-1)^{i+j}$ .
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Ex. 31.17Application
Verifica si $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ es identidad.
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Ex. 31.18ApplicationAnswer key
Construye $A_{3 \times 3}$ con $a_{ij} = \max(i, j)$ .
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Ex. 31.19Application
Decide: la matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ¿es simétrica?
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Ex. 31.20ApplicationAnswer key
Construye una matriz $5 \times 5$ identidad. ¿Cuántos ceros tiene? (Resp.: $20$ .)
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Ex. 31.21Application
Construye $A_{3 \times 3}$ con $a_{ij} = |i - j|$ . ¿Es simétrica?
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Ex. 31.22Application
Construye $A_{4 \times 4}$ con $a_{ij} = \delta_{ij}$ (delta de Kronecker). ¿Qué matriz es?
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Ex. 31.23Application
¿Cuántos elementos no nulos tiene $I_n$ ? (Resp.: $n$ .)
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Ex. 31.24Application
Construye una matriz triangular inferior $4 \times 4$ con $a_{ij} = i + j$ si $i \geq j$ .
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Ex. 31.25Application
Identifica si $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{pmatrix}$ es simétrica.
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Ex. 31.26Application
Determina $x, y$ para que $\begin{pmatrix} 2x & 3 \\ 5 & y+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $x = 4, y = 6$ .)
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Ex. 31.27Understanding
Demuestra que una matriz simétrica debe ser cuadrada.
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Ex. 31.28UnderstandingAnswer key
Demuestra que una matriz antisimétrica tiene diagonal nula.
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Ex. 31.29Understanding
Demuestra que si $A$ es simétrica, entonces $a_{ij} = a_{ji}$ para cualesquiera $i, j$ .
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Ex. 31.30Understanding
¿Cuántas matrices simétricas $3 \times 3$ existen con entradas en $\{0, 1\}$ ? (Resp.: $2^6 = 64$ : se eligen 6 entradas independientes.)
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Ex. 31.31Understanding
Demuestra que toda matriz cuadrada se escribe como suma de simétrica + antisimétrica: $A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}$ .
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Ex. 31.32Understanding
Verifica la descomposición anterior para $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 31.33ModelingAnswer key
Notas de 3 alumnos en 4 asignaturas: monta una matriz $3 \times 4$ con datos ficticios.
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Ex. 31.34ModelingAnswer key
Distancias entre 4 ciudades: matriz simétrica $4 \times 4$ con diagonal nula.
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Ex. 31.35Modeling
Imagen en escala de grises $2 \times 3$ . Cada elemento de 0 (negro) a 255 (blanco). Construye un ejemplo.
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Ex. 31.36Modeling
Tabla de precios por tienda × producto: monta una matriz $3 \times 4$ (3 tiendas, 4 productos).
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Ex. 31.37Modeling
En ML, dataset con $n$ muestras × $d$ features: ¿cuál es la dimensión de la matriz?
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Ex. 31.38Modeling
Sistema lineal $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ : escribe la matriz de coeficientes y la ampliada.
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Ex. 31.39Modeling
Matriz de adyacencia de un grafo de 4 vértices con aristas $\{1\text{-}2, 2\text{-}3, 3\text{-}4, 1\text{-}4\}$ .
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Ex. 31.40Modeling
En finanzas, matriz de correlación $5 \times 5$ entre acciones: simétrica, diagonal $= 1$ . ¿Cuántos valores únicos? (Resp.: $10$ .)
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Ex. 31.41Modeling
En producción, matriz coste $\times$ cantidad: cada elemento es el coste total de esa combinación.
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Ex. 31.42Modeling
En control, estado $\mathbf x \in \mathbb R^3$ con matriz dinámica $A \in M_{3\times 3}$ . ¿Cuántas entradas?
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Ex. 31.43Challenge
Demuestra que la dimensión del espacio de matrices simétricas $n \times n$ es $n(n+1)/2$ .
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Ex. 31.44Challenge
Demuestra que la dimensión del espacio de matrices antisimétricas $n \times n$ es $n(n-1)/2$ .
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Ex. 31.45Challenge
Construye $A_{3 \times 3}$ tal que $a_{ij} = \binom{i+j-2}{j-1}$ . ¿Reconoces el patrón? (Filas de Pascal: matriz de Hilbert desplazada.)
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Ex. 31.46Proof
Demuestra que si $A$ es simétrica y antisimétrica simultáneamente, entonces $A = O$ .
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Fuentes de esta lección

Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4.ª ed. · EN · CC-BY-NC · cap. 3: matrices. Fuente primaria.
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · cap. M.
Álgebra linear — Wikilibros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA.