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Lección 32 — Operaciones con matrices

Suma, multiplicación por escalar, producto matricial. La multiplicación como composición de transformaciones lineales.

Used in: 1.º ano EM (álgebra linear elementar) · Equiv. Math I japonês cap. matrizes · Equiv. Klasse 11 alemã (Matrizen)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Operaciones

Suma y diferencia

Para matrices de misma dimensión: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Multiplicación por escalar

$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$

Producto matricial

Definido solo cuando el número de columnas de $A$ = número de filas de $B$ : $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (AB)_{m \times p}$

$\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}}$

Propiedades

Operación	Propiedad
Suma	conmutativa, asociativa, identidad $O$
Escalar	distributiva: $\alpha(A+B) = \alpha A + \alpha B$
Producto	asociativa: $(AB)C = A(BC)$
Producto	distributiva: $A(B+C) = AB + AC$
Producto	NO conmutativa en general
Identidad	$AI = IA = A$
Nula	$AO = OA = O$

Por qué el producto matricial es "raro"

Porque corresponde a la composición de transformaciones lineales: aplicar primero $B$ y después $A$ es lo mismo que aplicar $AB$ . El orden importa porque la composición importa.

Potencias

$A^n = A \cdot A \cdots A$ ( $n$ veces), $A^0 = I$ . Definidas solo para matrices cuadradas.

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 5Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 32.1Application
Calcula $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 32.2ApplicationAnswer key
Calcula $3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.3Application
Calcula $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 32.4Application
Calcula $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : ¿qué da?
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Ex. 32.5ApplicationAnswer key
Calcula $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.6Application
Multiplica una matriz $2 \times 3$ por una $3 \times 2$ : ¿cuál es la dimensión del resultado? (Resp.: $2 \times 2$ .)
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Ex. 32.7Application
Calcula $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $\begin{pmatrix} 50 \\ 122 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 32.8Application
Verifica $AB \neq BA$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.9ApplicationAnswer key
$A^2$ para $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $I$ .)
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Ex. 32.10Application
Calcula $(A + B)^2$ y $(A^2 + 2AB + B^2)$ . ¿Cuándo coinciden? (Cuando $AB = BA$ .)
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Ex. 32.11Application
Calcula $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^2$ .
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Ex. 32.12Application
Multiplica $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ por $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $(\cos\theta, \sin\theta)^T$ .)
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Ex. 32.13ApplicationAnswer key
Calcula el producto $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.14Application
Verifica la distributiva: $A(B+C) = AB + AC$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $B, C$ a tu elección.
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Ex. 32.15Application
Para $A_{2 \times 3}$ y $B_{3 \times 4}$ , ¿dimensión de $AB$ ? ¿Y de $BA$ ? (No existe $BA$ .)
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Ex. 32.16Application
Calcula $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.17ApplicationAnswer key
Demuestra que el producto de dos matrices diagonales es diagonal: calcúlalo explícitamente.
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Ex. 32.18Application
Calcula $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^3$ .
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Ex. 32.19Application
Calcula $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n$ : encuentra una fórmula general en función de $n$ . (Resp.: $\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 32.20ApplicationAnswer key
¿Para qué $A_{2\times 2}$ se cumple $A^2 = A$ ? (Idempotente: proyección.) Da dos ejemplos.
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Ex. 32.21Application
Calcula $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.22Application
Calcula $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ : producto exterior, dimensión $3 \times 3$ .
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Ex. 32.23ApplicationAnswer key
Calcula $\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ : producto interno, dimensión $1 \times 1$ . (Resp.: $32$ .)
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Ex. 32.24Application
Calcula $A^4$ para $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $I$ .)
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Ex. 32.25Application
Encuentra $A^2$ para $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . ¿Y $A^3$ ? (Nilpotente.)
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Ex. 32.26Application
Verifica $(AB)^T = B^T A^T$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 32.27Application
Calcula $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}$ : verifica que da rotación de $\alpha + \beta$ .
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Ex. 32.28Understanding
Demuestra que multiplicar por la matriz identidad no cambia. (Directo de la definición.)
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Ex. 32.29Understanding
Demuestra que la matriz nula multiplicada da matriz nula.
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Ex. 32.30Understanding
Demuestra que si $A$ es diagonal y $B$ es diagonal, $AB$ es diagonal y los elementos diagonales se multiplican.
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Ex. 32.31UnderstandingAnswer key
Demuestra que si $A$ es triangular superior y $B$ es triangular superior, $AB$ es triangular superior.
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Ex. 32.32Understanding
Demuestra que $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ incluso cuando $AB \neq BA$ .
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Ex. 32.33Modeling
En un equipo, los jugadores hacen goles $G$ y asistencias $A$ . Puntuar: gol $\times 3$ + asistencia $\times 1$ . Modélalo como producto matricial.
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Ex. 32.34Modeling
En una red neuronal, capa $\mathbf{y} = W\mathbf{x} + \mathbf{b}$ . Para $W \in M_{10 \times 5}$ , ¿cuál es la dimensión de $\mathbf x$ y de $\mathbf y$ ?
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Ex. 32.35Modeling
Cadena de Markov: distribución $\pi'$ = $\pi P$ . Si $\pi = (0{,}5, 0{,}5)$ y $P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ , calcula $\pi'$ .
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Ex. 32.36Modeling
Rotación en el plano: $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ rota $(x, y)$ por $\theta$ . Aplícalo a $(1, 0)$ con $\theta = \pi/2$ .
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Ex. 32.37ModelingAnswer key
PageRank itera $\mathbf v_{n+1} = M \mathbf v_n$ con $M$ estocástica. ¿Para qué sirve el autovector de $M$ ?
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Ex. 32.38Modeling
En CG, transformación afín 2D: $T(\mathbf x) = A\mathbf x + \mathbf t$ . ¿Cómo representarlo vía una matriz $3\times 3$ aplicada a $(x, y, 1)^T$ ?
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Ex. 32.39ModelingAnswer key
En economía, matriz insumo-producto: $\mathbf x = A\mathbf x + \mathbf d$ ⟹ $\mathbf x = (I-A)^{-1}\mathbf d$ . ¿Qué coste computacional?
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Ex. 32.40ModelingAnswer key
En finanzas, retornos $\mathbf r = R \mathbf w$ donde $R$ es matriz de retornos por activo × escenario. Modélalo.
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Ex. 32.41Modeling
Imagen RGB $H \times W \times 3$ . Conversión a escala de grises: $g = 0{,}299 r + 0{,}587 g + 0{,}114 b$ . ¿Cómo expresarlo en producto matricial?
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Ex. 32.42Modeling
En control, sistema $\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k + B\mathbf u_k$ . Tras 3 pasos, $\mathbf x_3$ en función de $\mathbf x_0, \mathbf u_0, \mathbf u_1, \mathbf u_2$ .
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Ex. 32.43Challenge
Encuentra $A \neq 0$ y $B \neq 0$ tales que $AB = 0$ (divisores de cero matriciales).
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Ex. 32.44Challenge
Encuentra $A \neq I$ tal que $A^2 = I$ (involución no trivial).
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Ex. 32.45Challenge
Demuestra que si $AB = I$ para $A, B$ cuadradas, entonces $BA = I$ también (no es trivial: depende de la finitud de la dimensión).
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Ex. 32.46Proof
Demuestra la asociatividad: $(AB)C = A(BC)$ vía $\sum_k$ y cambio del orden de los sumatorios.
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Fuentes de esta lección

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · cap. M y MM. Fuente primaria.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4.ª ed. · EN · CC-BY-NC · cap. 3.
Álgebra linear — Wikilibros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA.