Lección 33 — Matriz traspuesta, identidad, inversa

Traspuesta e inversa

Traspuesta

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Se intercambian filas por columnas. Propiedades:

Matriz simétrica: $A^T = A$. Matriz ortogonal: $A^T A = I$ ⟺ $A^{-1} = A^T$.

Identidad

$I_n$: matriz cuadrada $n \times n$ con 1 en la diagonal y 0 fuera. Para todo $A_{n \times n}$: $AI = IA = A$

Inversa

$A_{n \times n}$ es invertible (no singular) si existe $A^{-1}$ tal que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Teorema de Equivalencia: para $A$ cuadrada, son equivalentes:

1. $A$ es invertible.
2. $\det A \neq 0$.
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ tiene solo $\mathbf{x} = \mathbf{0}$.
4. Las columnas de $A$ son linealmente independientes.
5. Las filas de $A$ son linealmente independientes.
6. $A$ tiene rango pleno: $\text{rank}(A) = n$.
7. $A$ es producto de matrices elementales.

Inversa 2x2

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(Válido si $ad - bc \neq 0$.)

Propiedades de la inversa

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (¡invierte el orden!)
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$
• $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$

Cálculo vía Gauss-Jordan

Forma $[A | I]$ → eliminación hasta $[I | A^{-1}]$. Coste $O(n^3)$.