Lección 34 — Determinantes 2x2 y 3x3

Cálculo y propiedades

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3 — Regla de Sarrus

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

(Repite las 2 primeras columnas a la derecha, 3 productos descendentes − 3 ascendentes.)

n×n — Expansión de Laplace (cofactores)

$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

donde $M_{ij}$ es el menor (det de la submatriz quitando la fila $i$ y la columna $j$). Recursivo: reduce $n \times n$ a una suma de $(n-1) \times (n-1)$.

Definición vía permutaciones (Leibniz)

$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$

Suma sobre todas las $n!$ permutaciones.

Propiedades

Interpretación geométrica

• $|\det A|$ = volumen del paralelepípedo generado por las columnas de $A$.
• $\det A > 0$: orientación preservada. $\det A < 0$: orientación invertida.
• $\det A = 0$: columnas linealmente dependientes (paralelepípedo "aplastado").

Criterio de invertibilidad

$A$ invertible $\iff \det A \neq 0$.