Lección 35 — Resolución de sistemas mediante matrices

Métodos de resolución

Forma matricial

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ con $A_{3 \times 3}$, $\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$.

Método 1 — Eliminación de Gauss

Operaciones elementales (no alteran la solución):

1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplicar una fila por escalar no nulo.
3. Sumar un múltiplo de una fila a otra.

Objetivo: triangularizar $[A | \mathbf{b}]$ hasta forma escalonada. Después, sustitución regresiva.

Método 2 — Cramer

Para $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ con $\det A \neq 0$: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

donde $A_i$ es $A$ con la $i$-ésima columna sustituida por $\mathbf{b}$.

Método 3 — Inversa

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$. Se puede calcular $A^{-1}$ vía $[A | I] \to [I | A^{-1}]$ por eliminación.

Cuándo usar cada uno

Clasificación de sistemas

• Determinado (SCD): solución única ($\det A \neq 0$, o $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b]) = n$).
• Indeterminado (SCI): infinitas soluciones ($\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b]) < n$).
• Imposible (SI): sin solución ($\text{rank}(A) < \text{rank}([A|\mathbf b])$).

Teorema de Rouché-Capelli (Rouché-Frobenius)

$A\mathbf x = \mathbf b$ tiene solución ⟺ $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf b])$. La solución es única si ambos = número de incógnitas.