Lección 38 — Combinaciones y binomio de Newton

Combinaciones y binomio

Combinación simple

$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Léase: "$n$ elige $p$". Vale para $0 \leq p \leq n$.

Diferencia con arreglo

$\binom{n}{p}$ NO ordena. Cada subconjunto de $p$ elementos se cuenta una vez. Relación: $A_n^p = p! \binom{n}{p}$: el arreglo ordena tras seleccionar.

Propiedades

Triángulo de Pascal

                    1
                  1   1
                1   2   1
              1   3   3   1
            1   4   6   4   1
          1   5  10  10   5   1
        1   6  15  20  15   6   1

La fila $n$ (empezando en 0) tiene los coeficientes $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$.

Teorema del binomio (Newton)

$(a + b)^n = \sum_{p=0}^n \binom{n}{p} a^{n-p} b^p$

Ejemplos:

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Término general

$T_{p+1} = \binom{n}{p} a^{n-p} b^p$: el $(p+1)$-ésimo término de $(a+b)^n$.

Multinomial (generalización)

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)^n = \sum \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_k} x_1^{n_1} \cdots x_k^{n_k}$

con $\binom{n}{n_1, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdots n_k!}$ y $\sum n_i = n$.