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Lección 39 — Probabilidad discreta básica

Espacio muestral, eventos, axiomas de Kolmogorov. Probabilidad clásica: casos favorables sobre posibles. Probabilidad condicional, Bayes.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math B japonês · Equiv. Stochastik Klasse 11 alemã · Equiv. H2 Math Statistics (Singapura)

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}, \qquad P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Axiomas y fórmulas

Espacio muestral

$\Omega$ : conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Evento: subconjunto de $\Omega$ .

Axiomas de Kolmogorov (1933)

$P(A) \geq 0$ para todo evento $A$ .
$P(\Omega) = 1$ .
$\sigma$ -aditividad: si $A_1, A_2, \ldots$ disjuntos: $P(\bigcup A_i) = \sum P(A_i)$ .

Probabilidad clásica (espacio equiprobable)

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

Propiedades inmediatas

$P(\emptyset) = 0$ .
$P(A^c) = 1 - P(A)$ .
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (inclusión-exclusión).
$A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$ .
$P(A) \in [0, 1]$ .

Probabilidad condicional

$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Independencia

$A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ (equivalente: $P(A|B) = P(A)$ ).

Teorema de Bayes

$P(A | B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}$

Probabilidad total

Si $\{A_i\}$ partición de $\Omega$ : $P(B) = \sum_i P(B | A_i) P(A_i)$

Variable aleatoria discreta

$X: \Omega \to \mathbb R$ . Distribución: $P(X = x_i) = p_i$ con $\sum p_i = 1$ .

Distribución	Fórmula	Aparición
Bernoulli	$P(X=1) = p$	1 ensayo
Binomial	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$n$ ensayos
Geométrica	$(1-p)^{k-1}p$	tiempo de espera
Poisson	$e^{-\lambda}\lambda^k/k!$	eventos raros

Esperanza y varianza

$E[X] = \sum x_i p_i$
$\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - E[X]^2$

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 34Understanding 2Modeling 8Challenge 1Proof 1

Ex. 39.1Application
Lanzar moneda. $P(\text{cara})$ . (Resp.: $1/2$ .)
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Ex. 39.2Application
Lanzar dado. $P(\text{par})$ . (Resp.: $1/2$ .)
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Ex. 39.3Application
Lanzar dado. $P(X > 4)$ . (Resp.: $1/3$ .)
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Ex. 39.4Application
Lanzar 2 monedas. $P(\text{ambas caras})$ . (Resp.: $1/4$ .)
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Ex. 39.5Application
Lanzar 2 dados. $P(\text{suma 7})$ . (Resp.: $6/36 = 1/6$ .)
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Ex. 39.6Application
Lanzar 2 dados. $P(\text{suma } > 9)$ . (Resp.: $6/36 = 1/6$ .)
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Ex. 39.7Application
Sacar 1 carta de la baraja. $P(\text{rey})$ . (Resp.: $4/52 = 1/13$ .)
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Ex. 39.8Application
Sacar 1 carta. $P(\text{copas})$ . (Resp.: $1/4$ .)
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Ex. 39.9Application
Sacar 2 cartas sin reposición. $P(\text{ambas reyes})$ . (Resp.: $\binom{4}{2}/\binom{52}{2} = 1/221$ .)
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Ex. 39.10Application
Sacar 1 carta. $P(\text{rey O copas})$ . (Resp.: $16/52 = 4/13$ .)
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Ex. 39.11Application
$P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}5$ , $P(A \cap B) = 0{,}1$ . ¿ $P(A \cup B)$ ? (Resp.: $0{,}7$ .)
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Ex. 39.12Application
$P(A^c)$ si $P(A) = 0{,}7$ . (Resp.: $0{,}3$ .)
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Ex. 39.13Application
Demuestra $P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B))$ .
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Ex. 39.14Application
$P(A) = 0{,}6$ , $P(B|A) = 0{,}4$ . ¿ $P(A \cap B)$ ? (Resp.: $0{,}24$ .)
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Ex. 39.15ApplicationAnswer key
$P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}3$ , $A, B$ independientes. ¿ $P(A \cap B)$ ? (Resp.: $0{,}15$ .)
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Ex. 39.16Application
Lanzar dado 2 veces. $P(\text{primero 6, segundo cualquiera})$ . (Resp.: $1/6$ .)
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Ex. 39.17ApplicationAnswer key
Mega-Sena: $P(\text{acertar 6})$ . (Resp.: $1/\binom{60}{6} \approx 2 \times 10^{-8}$ .)
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Ex. 39.18Application
Quina: $P(\text{acertar 5 en 6 marcadas})$ .
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Ex. 39.19Application
Distribución binomial: $X \sim \text{Bin}(10, 0{,}5)$ . ¿ $P(X = 5)$ ? (Resp.: $\binom{10}{5}/2^{10} \approx 0{,}246$ .)
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Ex. 39.20ApplicationAnswer key
$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}3)$ . ¿ $P(X = 2)$ ? (Resp.: $\binom{5}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^3 \approx 0{,}309$ .)
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Ex. 39.21ApplicationAnswer key
$P(A) = 0{,}4, P(B) = 0{,}5, P(A \cap B) = 0{,}2$ . ¿ $P(A|B)$ ? (Resp.: $0{,}4$ .)
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Ex. 39.22ApplicationAnswer key
En el ejercicio anterior, ¿ $A$ y $B$ son independientes? (Resp.: sí, $P(A|B) = P(A)$ .)
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Ex. 39.23Application
2 dados. $P(\text{suma 7} | \text{primero es 4})$ . (Resp.: $1/6$ .)
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Ex. 39.24ApplicationAnswer key
Caja con 3 blancas y 7 negras. Sacar 2 sin reposición. $P(\text{ambas blancas})$ . (Resp.: $\binom{3}{2}/\binom{10}{2} = 1/15$ .)
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Ex. 39.25Application
$P(\text{ambas negras})$ en el mismo problema. (Resp.: $\binom{7}{2}/\binom{10}{2} = 21/45 = 7/15$ .)
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Ex. 39.26Application
$P(\text{1 blanca, 1 negra})$ . (Resp.: $\binom{3}{1}\binom{7}{1}/\binom{10}{2} = 7/15$ .)
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Ex. 39.27ApplicationAnswer key
3 monedas. $P(\text{exactamente 2 caras})$ . (Resp.: $3/8$ .)
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Ex. 39.28Application
$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$ . $P(X \geq 1)$ . (Resp.: $1 - 0{,}9^{20}$ .)
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Ex. 39.29Application
Aplicar Bayes: $P(A) = 0{,}4, P(B|A) = 0{,}8, P(B|A^c) = 0{,}3$ . ¿ $P(A|B)$ ? (Resp.: $0{,}32/0{,}5 = 0{,}64$ .)
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Ex. 39.30ApplicationAnswer key
Probabilidad total: $P(A_1) = 0{,}3, P(A_2) = 0{,}5, P(A_3) = 0{,}2$ , $P(B|A_i) = 0{,}9, 0{,}5, 0{,}1$ . ¿ $P(B)$ ? (Resp.: $0{,}57$ .)
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Ex. 39.31Application
Lanzar 2 dados. $P(\text{algún 6})$ . (Resp.: $11/36$ .)
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Ex. 39.32Application
En una clase, el $60\%$ son chicas, $40\%$ chicos. Se sabe que el $80\%$ de las chicas y el $50\%$ de los chicos aprobaron. Un alumno aprobó: ¿ $P(\text{chica})$ ?
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Ex. 39.33Application
$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$ . $E[X]$ y $\text{Var}(X)$ . (Resp.: $E = 2, V = 1{,}5$ .)
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Ex. 39.34Application
Esperanza de lanzar 1 dado. (Resp.: $3{,}5$ .)
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Ex. 39.35ModelingAnswer key
A/B testing: el $10\%$ ve la versión B. ¿Probabilidad de que 3 amigos vean B (independientes)? (Resp.: $0{,}1^3 = 0{,}001$ .)
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Ex. 39.36Modeling
Enfermedad rara: $P(D) = 0{,}01$ . Test: sensibilidad $95\%$ , especificidad $90\%$ . ¿ $P(D|+)$ ?
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Ex. 39.37ModelingAnswer key
Control de calidad, tasa de defecto $2\%$ . $P(\text{0 defectos en 50 muestras})$ . (Resp.: $0{,}98^{50} \approx 0{,}364$ .)
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Ex. 39.38Modeling
En filtro de spam, $P(\text{spam}|\text{contiene viagra}) > 0{,}9$ vía Bayes: modélalo.
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Ex. 39.39Modeling
En juego de cartas, probabilidad de dos pares (5 cartas). Calcula vía combinatoria.
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Ex. 39.40Modeling
Cumpleaños: 23 personas, $P(\text{2 cumplen el mismo día}) > 0{,}5$ . Calcúlalo explícitamente.
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Ex. 39.41Modeling
En red de ordenadores, probabilidad de conexión extremo a extremo en serie de 5 enlaces, cada uno con $99\%$ de fiabilidad.
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Ex. 39.42ModelingAnswer key
En clasificador de ML, falso positivo $5\%$ , falso negativo $2\%$ , prevalencia $1\%$ . $P(\text{positivo verdadero}|\text{test positivo})$ .
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Ex. 39.43Understanding
Demuestra $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ vía Kolmogorov.
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Ex. 39.44Understanding
Demuestra que si $A$ y $B$ son independientes, entonces $A^c$ y $B^c$ también son independientes.
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Ex. 39.45Challenge
Monty Hall: 3 puertas, detrás de 1 está el premio. Tú eliges una; el presentador abre una sin premio de las otras dos. ¿Cambias? ¿Cuál probabilidad de ganar cambiando? (Resp.: $2/3$ .)
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Ex. 39.46Proof
Demuestra el teorema de Bayes a partir de la definición de probabilidad condicional.
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Fuentes de esta lección

OpenIntro Statistics — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019, 4.ª ed. · EN · CC-BY-SA · cap. 3: probabilidad. Fuente primaria.
Introduction to Probability — Blitzstein, Hwang · 2019, 2.ª ed. · EN · gratuito (autores) · caps. 1-2: conteo y Bayes.
Introductory Statistics — Illowsky, Dean (OpenStax) · 2022, 2.ª ed. · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 3.