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Lección 40 — Consolidación anual: workshop integrador Año 1

Workshop final del Año 1. Problemas que combinan funciones, trigonometría, geometría analítica, vectores, matrices, combinatoria y probabilidad.

Used in: Capstone 1.º ano EM · Equiv. Math I+II japonês revisão · Equiv. Abitur-Vorbereitung alemão

\text{Funciones} + \text{Trig} + \text{Geo Analítica} + \text{Matrices} + \text{Combinatoria} + \text{Probabilidad}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntesis del Año 1

Has completado 40 lecciones que cubren los fundamentos: funciones, tasa de variación, trigonometría, sucesiones, límite intuitivo, geometría analítica, vectores, sistemas lineales, matrices, determinantes, combinatoria y probabilidad.

Lo que sabes ahora

Lenguaje matemático riguroso: conjuntos, intervalos, notación.
Modelización con funciones: lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas.
Precálculo: tasa de variación media, límite intuitivo de sucesión: listo para el cálculo formal del Trimestre 5-6.
Geometría analítica: conexión álgebra-geometría vía Descartes.
Álgebra lineal introductoria: vectores, matrices, sistemas, determinantes.
Combinatoria + probabilidad: conteo riguroso, Bayes.

Lo que viene en el Año 2

Trimestre 5: límites formales ( $\eps$ - $\delta$ ).
Trimestre 6: derivadas y reglas (cadena, producto, cociente).
Trimestre 7: aplicaciones de la derivada (optimización, tasa relacionada).
Trimestre 8: estadística descriptiva y probabilidad profundizada.

Cómo abordar este workshop

Reserva 8 horas sin consulta para resolver los 40 problemas. Comprueba en el solucionario (~25% tienen solución desarrollada). Si aciertas < 50%, relee las lecciones correspondientes; entre 70-90%, estás listo para el Año 2; por encima del 90%, lee material complementario de los libros de referencia.

Mapa por trimestre

Trim	Temas principales	Lecciones
1	Conjuntos, intervalos, funciones básicas	1-10
2	Trigonometría, sucesiones, límite intuitivo	11-20
3	Geometría analítica, cónicas, vectores	21-30
4	Matrices, combinatoria, probabilidad	31-40

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 25Modeling 12Challenge 2Proof 1

Ex. 40.1Application
Dominio máximo de $f(x) = \log_2(x^2 - 9)$ . (Resp.: $x < -3$ o $x > 3$ .)
Solve online
Ex. 40.2Application
Calcula la TVM de $f(x) = x^2 - 3x$ en $[1, 4]$ . (Resp.: $2$ .)
Solve online
Ex. 40.3ApplicationAnswer key
Composición: $f(x) = x^2$ , $g(x) = 2x + 1$ . $(f \circ g)(2)$ y $(g \circ f)(2)$ . (Resp.: $25$ y $9$ .)
Solve online
Ex. 40.4Application
Inversa de $f(x) = (x - 3)/2$ . (Resp.: $f^{-1}(x) = 2x + 3$ .)
Solve online
Ex. 40.5Application
Resuelve $4^x = 32$ . (Resp.: $x = 5/2$ .)
Solve online
Ex. 40.6ModelingAnswer key
Las bacterias se duplican cada 30 min. 100 inicialmente. ¿Tras 3 h?
Solve online
Ex. 40.7Modeling
Inversión de 1.000 € al 10% anual compuesto. ¿Tras 7 años?
Solve online
Ex. 40.8Application
$\lim_{n \to \infty} (3n + 5)/(n + 1) = ?$ (Resp.: $3$ .)
Solve online
Ex. 40.9Application
Cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$ : vértice y raíces.
Solve online
Ex. 40.10Modeling
Función coste $C(q) = 200 + 8q + 0{,}1 q^2$ . ¿Coste medio en $q = 50$ ?
Solve online
Ex. 40.11ApplicationAnswer key
Calcula $\sin(\pi/4) + \cos(\pi/3)$ . (Resp.: $\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{1}{2}$ .)
Solve online
Ex. 40.12Application
Resuelve $\sin x = \sqrt 3/2$ en $[0, 2\pi)$ . (Resp.: $\pi/3$ y $2\pi/3$ .)
Solve online
Ex. 40.13Application
Triángulo $a = 5, b = 7, C = 60°$ : calcula $c$ (ley del coseno). (Resp.: $c = \sqrt{39}$ .)
Solve online
Ex. 40.14Modeling
Marea: $h(t) = 2 + 1{,}5 \sin(\pi t/6)$ . Máxima y mínima.
Solve online
Ex. 40.15Application
PA con $a_1 = 3, r = 5$ . $a_{20}$ y $S_{20}$ .
Solve online
Ex. 40.16Application
PG con $a_1 = 2, q = 3$ . $S_8$ .
Solve online
Ex. 40.17ApplicationAnswer key
Suma infinita $1 + 1/2 + 1/4 + \ldots$ . (Resp.: $2$ .)
Solve online
Ex. 40.18Application
Suma $1 + 2 + 3 + \ldots + 200$ (Gauss). (Resp.: $20\,100$ .)
Solve online
Ex. 40.19Modeling
Péndulo de 1 m. Periodo aproximado $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , $g = 9{,}8$ . (Resp.: $\approx 2{,}01$ s.)
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Ex. 40.20Modeling
Decaimiento exponencial: vida media 5 días. ¿Cuánto queda de 100 g en 25 días? (Resp.: $100/2^5 = 3{,}125$ g.)
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Ex. 40.21Application
Distancia entre $(2, 3)$ y $(8, 11)$ . (Resp.: $10$ .)
Solve online
Ex. 40.22Application
Ecuación de la recta que pasa por $(0, 4)$ y $(2, 0)$ . (Resp.: $y = -2x + 4$ .)
Solve online
Ex. 40.23Application
Ecuación de la circunferencia centro $(2, -1)$ radio $5$ . (Resp.: $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ .)
Solve online
Ex. 40.24Application
$(3, 4) \cdot (1, 2)$ y ángulo entre ellos. (Resp.: producto $= 11$ .)
Solve online
Ex. 40.25Modeling
Bloque en rampa $30°$ , masa 10 kg, sin rozamiento. ¿Aceleración? (Resp.: $g \sin 30° = 4{,}9$ m/s².)
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Ex. 40.26Application
Determinante de $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ . (Resp.: $5$ .)
Solve online
Ex. 40.27ApplicationAnswer key
Resuelve $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$ vía Cramer. (Resp.: $x = 19/7, y = 11/7$ .)
Solve online
Ex. 40.28Application
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . ¿ $A^{-1}$ ? (Resp.: $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$ .)
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Ex. 40.29ModelingAnswer key
Avión 600 km/h rumbo norte con viento 80 km/h del este. Velocidad resultante.
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Ex. 40.30ApplicationAnswer key
Cónica $x^2/16 + y^2/9 = 1$ : vértices, focos.
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Ex. 40.31ApplicationAnswer key
$5!$ . (Resp.: $120$ .)
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Ex. 40.32ApplicationAnswer key
$\binom{8}{3}$ . (Resp.: $56$ .)
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Ex. 40.33Application
Anagramas de "PROBLEMA": 8 letras distintas. (Resp.: $40\,320$ .)
Solve online
Ex. 40.34Modeling
Mega-Sena: $P(\text{acertar 6})$ . (Resp.: $1/\binom{60}{6}$ .)
Solve online
Ex. 40.35Modeling
Lanzar 3 monedas. $P(\text{3 caras})$ . (Resp.: $1/8$ .)
Solve online
Ex. 40.36Modeling
$X \sim \text{Bin}(6, 0{,}5)$ . $P(X = 3)$ . (Resp.: $20/64 = 5/16$ .)
Solve online
Ex. 40.37Modeling
Enfermedad rara $P(D) = 0{,}001$ , sensibilidad 99%, especificidad 95%. $P(D|+)$ vía Bayes.
Solve online
Ex. 40.38Challenge
Resuelve: $\sin x + \cos x = 1$ en $[0, 2\pi)$ .
Solve online
Ex. 40.39ChallengeAnswer key
Triángulo equilátero más grande inscrito en un círculo de radio 1. (Lado: $\sqrt 3$ .)
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Ex. 40.40Proof
Demuestra que $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$ (Pascal) combinatoriamente.
Solve online

Fuentes de esta lección

El workshop reúne fuentes del Año 1 entero. Principales:

Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1, §8.
Algebra and Trigonometry — OpenStax · 2022, 2.ª ed. · EN · CC-BY · §1-§11.
College Algebra — OpenStax · 2022, 2.ª ed. · EN · CC-BY · §1-§11.
Linear Algebra Done Right — Axler · 2024, 4.ª ed. · EN · CC-BY-NC · cap. 1, 3, 6, 10.
OpenIntro Statistics — Diez et al. · 2019, 4.ª ed. · EN · CC-BY-SA · cap. 3.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §1-§11.

Catálogo completo en /livros.

Próximo: Año 2 — Cálculo Diferencial

El Trimestre 5 empieza en /aulas/ano-2/trim-5/licao-41-limite-formal: límite formal $\eps$ - $\delta$ , derivada, aplicaciones.