Lección 41 — Límite formal: definición ε-δ

Definición rigurosa

Cómo demostrar un límite vía ε-δ

1. Escribe $|f(x) - L|$ en términos de $|x - a|$.
2. Para $\eps > 0$ arbitrario, encuentra $\delta = \delta(\eps)$ que haga $|f(x) - L| < \eps$ siempre que $0 < |x - a| < \delta$.

Ejemplo modelo: $\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$

$|3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|$. Dado $\eps > 0$, elige $\delta = \eps/3$. Entonces $|x - 2| < \delta \Rightarrow 3|x - 2| < \eps$. ∎

Límites laterales

• $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$: $0 < x - a < \delta$ (solo por la derecha).
• $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$: $0 < a - x < \delta$ (solo por la izquierda).
• $\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} = \lim_{x \to a^-} = L$.

Límites infinitos

$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$: $\forall M > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) > M$.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$: $\forall \eps > 0, \exists N : x > N \Rightarrow |f(x) - L| < \eps$.

Tabla de las 4 cuantificaciones

Propiedades básicas

• Límite de la suma = suma de los límites.
• Límite del producto = producto de los límites.
• Límite del cociente = cociente, si el denominador $\neq 0$.