Lección 43 — Continuidad de funciones

Definiciones y teoremas

Forma ε-δ directa

$f$ continua en $a$ $\iff$ $\forall \eps > 0, \exists \delta > 0 : |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \eps$.

(Nota: aquí podemos tener $|x - a| = 0$, esto es, $x = a$, porque $|f(a) - f(a)| = 0 < \eps$ trivialmente.)

Tipos de discontinuidad

Teorema del valor intermedio (TVI)

Si $f \in C([a, b])$ y $k$ está entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces $\exists c \in (a, b) : f(c) = k$.

Teorema de Weierstrass (extremos)

Si $f \in C([a, b])$ (intervalo cerrado y acotado), entonces $f$ alcanza máximo y mínimo en $[a, b]$.

Continuidad uniforme

$f$ es uniformemente continua en $I$ si $\forall \eps, \exists \delta$ (mismo $\delta$ para todo $x$) tal que $|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \eps$.

Heine-Cantor: $f \in C([a, b])$ ⇒ $f$ uniformemente continua.

Operaciones que preservan la continuidad

• Suma, producto, cociente (denom. $\neq 0$).
• Composición: $f \circ g$ continua si $g$ continua en $a$ y $f$ en $g(a)$.
• $\max(f, g)$, $\min(f, g)$, $|f|$.