Lección 46 — Teorema del Valor Intermedio (TVI) y aplicaciones

TVI y variantes

Caso particular ($k = 0$): $f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a, b) : f(c) = 0$.

Aplicación 1: Bisección (algoritmo)

Si $f(a) f(b) < 0$:

1. $m = (a+b)/2$.
2. Si $f(m) = 0$, parar.
3. Si $f(a) f(m) < 0$, repetir en $[a, m]$.
4. Si no, repetir en $[m, b]$.

Convergencia: el error se divide por la mitad por iteración, $|c - m_n| \leq (b-a)/2^n$.

Aplicación 2: Punto fijo

Si $g \in C([a, b])$ con $g([a, b]) \subseteq [a, b]$, entonces $\exists c$ con $g(c) = c$. Aplicar TVI a $f(x) = g(x) - x$.

Aplicación 3: Existencia de soluciones de ecuaciones

$\cos x = x$, $e^x = 2x$, $\tan x = x$ tienen soluciones por TVI.

Demostración vía completitud

Sea $S = \{x \in [a, b] : f(x) < k\}$ (asumiendo $f(a) < k < f(b)$). $S \neq \emptyset$ ($a \in S$) y acotado superiormente. Toma $c = \sup S$. Por continuidad y propiedades del supremo, $f(c) = k$.

Por qué se necesita continuidad

Contraejemplo: $f(x) = \mathrm{sgn}(x)$ en $[-1, 1]$. $f(-1) = -1$, $f(1) = 1$, pero $f$ nunca toma el valor $0{,}5$. Falla porque $f$ no es continua en 0.

TVI vs TVM

TVI: existencia de valor intermedio ($f$ continua). TVM (Teorema del Valor Medio, Lección 56): existencia de derivada intermedia ($f$ derivable).

No confundir. TVM requiere derivabilidad; TVI solo continuidad.