v1 · padrão canônico

Lección 47 — Asíntotas y comportamiento asintótico

Asíntotas verticales, horizontales, oblicuas. Esbozo de gráficas mediante análisis asintótico.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II japonês cap. 5 · Equiv. Klasse 11 alemã análise de funções

\text{AV: } x = a, \quad \text{AH: } y = L, \quad \text{AO: } y = mx + b

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Asíntotas — definiciones y cálculo

Asíntota vertical (AV)

Dónde aparecen: puntos donde $f$ tiene polo (denominador cero, log de 0, etc.).

Asíntota horizontal (AH)

Puede haber dos AHs (una en $+\infty$ , otra en $-\infty$ ): ejemplo $\arctan x$ tiene $y = \pi/2$ y $y = -\pi/2$ .

Asíntota oblicua (AO)

Cálculo: $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx).$

Si ambos límites existen con $m$ finito no nulo, hay AO.

Tabla de asíntotas para $P(x)/Q(x)$

Caso	Asíntotas
$\deg P < \deg Q$	AH en $y = 0$
$\deg P = \deg Q$	AH en $y =$ razón de los coef. líderes
$\deg P = \deg Q + 1$	AO ( $y =$ cociente de la división)
$\deg P > \deg Q + 1$	Sin AO (crece más rápido)

Otras funciones

Función	Asíntota
$1/x$	AV $x = 0$ , AH $y = 0$
$e^x$	AH $y = 0$ ( $x \to -\infty$ )
$\ln x$	AV $x = 0$
$\arctan x$	AH $y = \pm\pi/2$
$\tan x$	AV en $\pi/2 + k\pi$
$1/\sin x$	AV en $k\pi$

Procedimiento general

AV: encuentra los puntos donde $f$ no está definida (denom. = 0). Calcula límite lateral.
AH: calcula $\lim_{x \to \pm\infty} f$ .
AO: si no hay AH, calcula $m, b$ con las fórmulas.

Exercise list

36 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 2Modeling 8Challenge 1Proof 1

Ex. 47.1Application
Asíntotas de $f(x) = 1/(x - 2)$ .
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Ex. 47.2Application
Asíntotas de $f(x) = (3x + 1)/(x - 2)$ . (Resp.: AV $x=2$ , AH $y=3$ .)
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Ex. 47.3ApplicationAnswer key
$f(x) = x^2/(x^2 - 1)$ : ¿asíntotas?
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Ex. 47.4Application
$f(x) = (x^2 + 1)/x$ : asíntotas. (Resp.: AV $x=0$ , AO $y=x$ .)
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Ex. 47.5ApplicationAnswer key
$f(x) = x + 1/x$ : asíntotas.
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Ex. 47.6Application
$f(x) = e^{-x}$ : ¿AH en $x \to \infty$ ? (Resp.: $y = 0$ .)
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Ex. 47.7Application
$f(x) = \tan x$ : asíntotas verticales. (Resp.: $x = \pi/2 + k\pi$ .)
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Ex. 47.8Application
$f(x) = \arctan x$ : ¿AH en $\pm\infty$ ? (Resp.: $y = \pm\pi/2$ .)
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Ex. 47.9Application
$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : ¿asíntota oblicua? (Resp.: $y = \pm x$ .)
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Ex. 47.10Application
$f(x) = (x^3 - 1)/(x^2 - 1)$ : asíntotas. (Resp.: AV $x=-1$ , AO $y=x$ .)
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Ex. 47.11ApplicationAnswer key
$f(x) = (2x^2 - 3)/(x^2 + 1)$ : asíntotas.
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Ex. 47.12Application
$f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)$ : ¿asíntotas? (Cuidado: removible en $x=2$ .)
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Ex. 47.13Application
Esboza $f(x) = (x+1)/(x-1)$ identificando AV y AH.
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Ex. 47.14Application
$f(x) = \ln x$ : ¿AV en $x = 0$ ? Tipo. (Resp.: $\lim \ln x = -\infty$ .)
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Ex. 47.15Application
$f(x) = e^x/x$ : asíntotas.
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Ex. 47.16ApplicationAnswer key
$f(x) = (x^2 + x)/(x + 1)$ : simplifica y halla asíntotas.
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Ex. 47.17Application
$f(x) = 1/\sin x$ : asíntotas verticales. (Resp.: $x = k\pi$ .)
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Ex. 47.18Application
$f(x) = \tanh x$ : ¿AH en $\pm\infty$ ? (Resp.: $y = \pm 1$ .)
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Ex. 47.19Application
$f(x) = x \cdot e^{-x}$ : AH en $x \to +\infty$ .
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Ex. 47.20Application
$f(x) = (x^3 + 1)/(x^2 + 1)$ : ¿asíntota oblicua? (Resp.: $y = x$ .)
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Ex. 47.21Application
Esboza $f(x) = 1/(x^2 - 4)$ identificando asíntotas.
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Ex. 47.22ApplicationAnswer key
Esboza $f(x) = x/(x^2 + 1)$ .
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Ex. 47.23Application
Esboza $f(x) = (x^2 + 2x)/(x - 1)$ con AV y AO.
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Ex. 47.24Application
Esboza $f(x) = 1/(x \ln x)$ : dominio, asíntotas.
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Ex. 47.25ModelingAnswer key
En farmacocinética $C(t) \to 0$ : AH $y = 0$ . Verifícalo para $C(t) = C_0 e^{-kt}$ .
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Ex. 47.26Modeling
En economía, el coste medio $\bar C(q) = C(q)/q$ tiene AO $y = c$ si $C(q) = c q + F$ (límite del coste marginal).
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Ex. 47.27Modeling
Distribución normal $f(x) = e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}$ : ¿AH en $\pm\infty$ ?
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Ex. 47.28Modeling
En RC, $V(t) \to V_\infty$ : AH en $V = V_\infty$ .
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Ex. 47.29Modeling
Bode plot de $H(s) = K/(s+1)$ . Identifica las AOs en log-log para $\omega \to 0$ y $\omega \to \infty$ .
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Ex. 47.30ModelingAnswer key
Black-Scholes price $C(S, T) \to S - K e^{-rT}$ cuando $S \to \infty$ . AO en $S$ .
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Ex. 47.31Modeling
Crecimiento poblacional logístico $P(t) \to K$ : AH en capacidad de carga.
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Ex. 47.32ModelingAnswer key
Hipérbola $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ : asíntotas $y = \pm (b/a)x$ . Verifícalo.
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Ex. 47.33UnderstandingAnswer key
Demuestra que $f$ puede tener al menos 2 AVs (ejemplo: $\tan x$ tiene infinitas).
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Ex. 47.34Understanding
¿Puede una función tener AH y AO al mismo tiempo (en el mismo lado)? (Resp.: No.)
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Ex. 47.35Challenge
$f(x) = (x^4 + 1)/(x^3 - 1)$ : ¿asíntotas?
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Ex. 47.36Proof
Demuestra: si $f$ tiene AO $y = mx + b$ , entonces $\lim f/x = m$ y $\lim (f - mx) = b$ .
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Fuentes

Calculus (Volume 1) — OpenStax · 2016 · §4.6.
Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.7.
APEX Calculus — Hartman · 2024 · §1.6.