Lección 49 — Límite de sucesiones (formalizado)

Sucesiones, convergencia y teoremas

Teoremas clave

Cauchy

En $\mathbb{R}$: Cauchy $\iff$ convergente (completitud). En $\mathbb{Q}$: no toda Cauchy converge ($a_n$ aproximando $\sqrt 2$).

Monotonía + acotación

• $(a_n)$ creciente y acotada superiormente $\Rightarrow$ converge a $\sup a_n$.
• $(a_n)$ decreciente y acotada inferiormente $\Rightarrow$ converge a $\inf a_n$.

Subsucesiones

$(a_{n_k})$ es subsucesión de $(a_n)$ si $n_1 < n_2 < \ldots$. $\lim a_n = L \Rightarrow \lim a_{n_k} = L$ para toda subsucesión.

Sucesiones divergentes

• $a_n = (-1)^n$: oscila entre $-1$ y $1$. Las subsucesiones convergen (a $\pm 1$), pero $a_n$ no.
• $a_n = n$: crece sin límite ($\to +\infty$).
• $a_n = n \sin(n)$: comportamiento irregular, sin límite.

Sucesiones recursivas

$a_{n+1} = f(a_n)$, $a_0$ dado. El límite, si existe, es punto fijo de $f$: $L = f(L)$.