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Lección 51 — Derivada: definición mediante límite

Derivada como límite de la tasa de variación media. Recta tangente. La diferenciabilidad implica continuidad, pero no al revés. Cálculo mediante la definición para funciones elementales.

Used in: 2.º año de ESO (16–17 años) · Equiv. Matemáticas II japonés (微分) · Equiv. Klasse 11 alemán (Analysis)

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición rigurosa y teoremas

Definición de derivada

"We say that a function $f$ is differentiable at $x = a$ whenever $f'(a)$ exists. […] The derivative measures the instantaneous rate of change of the function, as well as the slope of the tangent line to the function at the given point." — Boelkins, Active Calculus §1.3

"The derivative of a function $f(x)$ at a point $a$ in its domain, if it exists, is $f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.1

Notaciones equivalentes

f'(x) \;=\; \frac{df}{dx} \;=\; \frac{dy}{dx} \;=\; Df(x) \;=\; \dot{f}(x)

what this means · Todas las notaciones siguientes representan el mismo objeto — la derivada de f. Leibniz (dy/dx), Lagrange (f'), Newton (f con punto) y el operador D son las más usadas.

La expresión $\frac{df}{dx}\Big|_{x=a}$ denota la derivada evaluada en el punto $a$ .

De la secante a la tangente — geometría del límite

La recta secante (naranja) pasa por los puntos (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)). Conforme h → 0, la secante rota hasta coincidir con la recta tangente (dorada). La derivada es el coeficiente angular de ese límite.

Recta tangente y recta normal

Si $f$ es diferenciable en $a$ :

Recta tangente en $(a, f(a))$ : $\quad y - f(a) = f'(a)(x - a)$
Recta normal en $(a, f(a))$ (perpendicular a la tangente, si $f'(a) \neq 0$ ): $\quad y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)$

Teorema fundamental de diferenciabilidad

"If $f$ is differentiable at $a$ , then $f$ is continuous at $a$ . […] The converse is not true, and a function can be continuous but fail to be differentiable at a point." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2

Puntos de no-diferenciabilidad

Derivadas fundamentales por definición

Función $f(x)$	$f'(x)$
$c$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$n x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Ejemplos resueltos

Example— 1· Derivada de $x^2$ por la definición

Problema: Usa la definición de derivada para calcular $f'(x)$ siendo $f(x) = x^2$ .

Estrategia: Aplicamos directamente $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ y simplificamos algebraicamente para eliminar $h$ del denominador antes de tomar el límite.

Resolución:

Calcula $f(a+h)$ : $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$
Monta el cociente incremental: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}$
Cancela $h$ (válido pues $h \neq 0$ en el proceso límite): $\frac{2ah + h^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$
Toma el límite: $f'(a) = \lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$

Como $a$ es arbitrario, la función derivada es $f'(x) = 2x$ .

Verificación: En $x = 3$ , $f'(3) = 6$ . La recta tangente pasa por $(3, 9)$ con pendiente 6: $y = 6x - 9$ . Punto de control: $f(3{,}1) = 9{,}61$ e $y(3{,}1) = 6(3{,}1) - 9 = 9{,}6$ — la tangente aproxima bien el gráfico para $h$ pequeño. $\checkmark$

Fuente. Active Calculus, §1.3, Actividad 1.3.2 — licencia CC-BY-SA 4.0.

Example— 2· Derivada de $1/x$ por la definición

Problema: Calcula $f'(a)$ para $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , con $a \neq 0$ , usando la definición.

Estrategia: El paso crítico es combinar las fracciones en el numerador en fracción única, lo que permite cancelar $h$ del denominador.

Resolución:

Cociente incremental: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h}$
Combina las fracciones en el numerador (mínimo común denominador $a(a+h)$ ): $= \frac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h \cdot a(a+h)}$
Cancela $h$ : $= \frac{-1}{a(a+h)}$
Toma el límite $h \to 0$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a \cdot a} = -\frac{1}{a^2}$

Resultado: $(1/x)' = -1/x^2$ . Geométricamente: la hipérbola $y = 1/x$ tiene tangente con pendiente negativa para todo $x \neq 0$ — la función es siempre decreciente en los semiplanos $x > 0$ y $x < 0$ .

Verificación: En $a = 2$ : $f'(2) = -1/4$ . Recta tangente: $y - 1/2 = -\tfrac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y = -x/4 + 1$ . En $x = 2{,}1$ : tangente da $0{,}475$ ; $f(2{,}1) = 1/2{,}1 \approx 0{,}476$ . $\checkmark$

Fuente. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Ejemplo 3.6 — licencia CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Ecuación de la recta tangente a $x^3$

Problema: Encuentra la ecuación de la recta tangente al gráfico de $f(x) = x^3$ en el punto $x = 2$ .

Estrategia: La recta tangente tiene ecuación $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Necesitamos $f(a)$ y $f'(a)$ .

Resolución:

Calcula $f(2) = 2^3 = 8$ . El punto de tangencia es $(2, 8)$ .
Calcula $f'(a)$ por definición: $\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$

$f'(a) = \lim_{h \to 0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2$

Luego $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$ .

Ecuación de la recta tangente: $y - 8 = 12(x - 2) \implies y = 12x - 16$

Verificación: En $x = 2{,}1$ : $f(2{,}1) = (2{,}1)^3 = 9{,}261$ ; tangente: $y = 12(2{,}1) - 16 = 9{,}2$ . Error absoluto $0{,}061$ — crece con $h^2$ como esperado para una aproximación lineal. $\checkmark$

Fuente. APEX Calculus, §2.1, Ejemplo 2.1.3 — licencia CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· No-diferenciabilidad: la cúspide del módulo

Problema: Investiga si $f(x) = |x|$ es diferenciable en $x = 0$ .

Estrategia: Calculamos las derivadas laterales $f'_-(0)$ y $f'_+(0)$ separadamente. Si difieren, $f$ no es diferenciable en $0$ .

Resolución:

Derivada lateral derecha ( $h \to 0^+$ , entonces $h > 0$ , luego $|h| = h$ ): $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$
Derivada lateral izquierda ( $h \to 0^-$ , entonces $h < 0$ , luego $|h| = -h$ ): $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$
Conclusión: $f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$ .

Como las derivadas laterales difieren, $f(x) = |x|$ no es diferenciable en $x = 0$ — existe una cúspide en el gráfico. Nota que $f$ es continua en $0$ (pues $\lim_{x\to 0}|x| = 0 = |0|$ ), confirmando que continuidad no implica diferenciabilidad.

Verificación: El gráfico de $|x|$ tiene pendiente $+1$ para $x > 0$ y $-1$ para $x < 0$ . No existe recta tangente única en $x = 0$ . $\checkmark$

Fuente. Active Calculus, §1.7, Actividad 1.7.3 — licencia CC-BY-SA 4.0.

Example— 5· Coste marginal — aplicación económica

Problema: Una empresa produce $q$ unidades de un producto con coste total $C(q) = q^2 + 30q + 500$ euros. Calcula el coste marginal en $q = 50$ unidades usando la definición de derivada e interpreta el resultado.

Estrategia: Coste marginal = $C'(q)$ , la tasa de variación instantánea del coste respecto a la cantidad. Calculamos por la definición y evaluamos en $q = 50$ .

Resolución:

Cociente incremental: $\frac{C(q+h) - C(q)}{h} = \frac{(q+h)^2 + 30(q+h) + 500 - (q^2 + 30q + 500)}{h}$

$= \frac{q^2 + 2qh + h^2 + 30q + 30h + 500 - q^2 - 30q - 500}{h} = \frac{2qh + h^2 + 30h}{h}$

$= 2q + h + 30$

Toma el límite: $C'(q) = \lim_{h \to 0}(2q + h + 30) = 2q + 30$
Evalúa en $q = 50$ : $C'(50) = 2(50) + 30 = 130 \text{ euros}$

Interpretación: Al producir 50 unidades, cada unidad adicional cuesta aproximadamente 130 euros. Observa que $C(51) - C(50) = (2601 + 1530 + 500) - (2500 + 1500 + 500) = 4631 - 4500 = 131$ euros — el coste marginal subestima en 1 euro (diferencia de segundo orden en $h$ ).

Verificación: $C'(q) = 2q + 30 > 0$ para todo $q > 0$ : costes crecientes, como esperado. En $q = 0$ : $C'(0) = 30$ — coste marginal de la primera unidad es 30 euros. $\checkmark$

Fuente. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Ejemplo aplicado — coste marginal — licencia CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 7Challenge 2Proof 1

Ex. 51.1Application
Calcula $f'(3)$ para $f(x) = x^2$ usando la definición de derivada. (Resp: $6$ .)
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Ex. 51.2Application
Calcula $f'(a)$ para $f(x) = x^3$ usando la definición. (Resp: $3a^2$ .)
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Ex. 51.3Application
Calcula $f'(a)$ para $f(x) = c$ (constante real) por la definición. (Resp: $0$ .)
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Ex. 51.4ApplicationAnswer key
Calcula $f'(a)$ para $f(x) = mx + b$ (función afín) por la definición. (Resp: $m$ .)
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Ex. 51.5Application
Calcula $f'(2)$ para $f(x) = 2x^2 + 3x$ por la definición. (Resp: $11$ .)
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Ex. 51.6Application
Calcula $f'(1)$ para $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ por la definición. (Resp: $-1$ .)
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Ex. 51.7Application
Calcula la función derivada $f'(x)$ para $f(x) = 2x^2 - x + 3$ por la definición. (Resp: $4x - 1$ .)
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Ex. 51.8Application
Usa la definición para calcular $f'(a)$ siendo $f(x) = x^4$ . (Resp: $4a^3$ .)
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Ex. 51.9ApplicationAnswer key
Calcula $f'(0)$ para $f(x) = x^2 - x$ por la definición. (Resp: $-1$ .)
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Ex. 51.10ApplicationAnswer key
Calcula $f'(a)$ para $f(x) = 2x^3 - 2x$ por la definición. (Resp: $6a^2 - 2$ .)
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Ex. 51.11Application
Calcula $f'(2)$ para $f(x) = 1/x$ por la definición. (Resp: $-1/4$ .)
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Ex. 51.12ApplicationAnswer key
Calcula $f'(4)$ para $f(x) = \sqrt{x}$ por la definición. (Resp: $1/4$ .)
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Ex. 51.13ApplicationAnswer key
Calcula $f'(1)$ para $f(x) = 1/x$ por la definición y escribe la ecuación de la recta tangente en $x = 1$ . (Resp: $f'(1) = -1$ ; tangente $y = -x + 2$ .)
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Ex. 51.14Application
Determina la ecuación de la recta tangente a $y = x^2$ en el punto $x = 2$ .
Solve online
Ex. 51.15ApplicationAnswer key
Determina la ecuación de la recta tangente a $y = 1/x$ en el punto $x = 1$ .
Solve online
Ex. 51.16Application
Para $f(x) = x^2 - 4x$ , ¿en cuál valor de $x$ la recta tangente es horizontal? Determina también el punto del gráfico. (Resp: $x = 2$ ; punto $(2, -4)$ .)
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Ex. 51.17Application
Calcula $f'(9)$ para $f(x) = \sqrt{x}$ por la definición. (Resp: $1/6$ .)
Solve online
Ex. 51.18Application
Calcula $f'(a)$ para $f(x) = 1/x^2$ por la definición. (Resp: $-2/a^3$ .)
Solve online
Ex. 51.19Application
Ecuación de la recta tangente a $y = x^3$ en $x = 2$ .
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Ex. 51.20ApplicationAnswer key
Determina la ecuación de la recta normal a $y = x^2$ en el punto $x = 1$ . (Resp: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ .)
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Ex. 51.21Understanding
¿La función $f(x) = |x|$ es diferenciable en $x = 0$ ? Justifica calculando las derivadas laterales.
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Ex. 51.22Understanding
¿La función $f(x) = x|x|$ es diferenciable en $x = 0$ ? (Resp: sí, $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.23Understanding
Analiza $f(x) = \sqrt[3]{x}$ en $x = 0$ . ¿Existe el límite del cociente incremental? (Resp: $+\infty$ — tangente vertical.)
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Ex. 51.24UnderstandingAnswer key
Sea $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}$ . ¿Es $f$ diferenciable en $x = 1$ ? Calcula las derivadas laterales. (Resp: no diferenciable; $f'_-(1) = 2 \neq 3 = f'_+(1)$ .)
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Ex. 51.25Understanding
Sea $f(x) = x^2\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$ . Muestra que $f'(0) = 0$ . (Resp: usa el teorema del sándwich — $|h\sin(1/h)| \leq |h| \to 0$ .)
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Ex. 51.26Understanding
Sea $f(x) = x\sin(1/x)$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$ . ¿La función es diferenciable en $x = 0$ ?
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Ex. 51.27Understanding
Sea $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}$ . Calcula $f'(0)$ por las derivadas laterales. (Resp: $f'(0) = 0$ .)
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Ex. 51.28Understanding
Interpreta geométricamente: ¿qué significa $f'(a) > 0$ , $f'(a) < 0$ y $f'(a) = 0$ ?
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Ex. 51.29Understanding
¿Cuál es la relación correcta entre diferenciabilidad y continuidad?
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Ex. 51.30Understanding
Explica, con un ejemplo numérico, por qué la diferencia central $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ es más precisa numéricamente que la diferencia forward $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
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Ex. 51.31ModelingAnswer key
Un objeto se mueve con posición $s(t) = 2t^2$ metros. ¿Cuál es su velocidad instantánea en $t = 2$ s?
Solve online
Ex. 51.32Modeling
Posición $s(t) = t^2 + 5t$ metros. Calcula la velocidad instantánea en $t = 3$ s por la definición de derivada. (Resp: $11$ m/s.)
Solve online
Ex. 51.33Modeling
Coste $C(q) = q^2 + 30q + 500$ euros. ¿Cuál el coste marginal en $q = 50$ unidades?
Solve online
Ex. 51.34Modeling
Población $P(t) = 100 + 5t^2$ individuos. Calcula la tasa de crecimiento en $t = 4$ años por la definición de derivada. (Resp: $40$ individuos/año.)
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Ex. 51.35Modeling
En machine learning, la función de pérdida es $L(\theta) = (\theta - 3)^2$ . Calcula $L'(\theta)$ por la definición y encuentra el $\theta$ que minimiza $L$ . (Resp: $L'(\theta) = 2\theta - 6$ ; mínimo en $\theta = 3$ .)
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Ex. 51.36Modeling
Carga eléctrica $q(t) = t^2 + 2t$ culombios. La corriente $i(t) = q'(t)$ . Calcula $i(2)$ .
Solve online
Ex. 51.37Modeling
Volumen de una esfera $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Calcula la tasa de variación del volumen respecto al radio en $r = 2$ cm. (Resp: $16\pi$ cm³/cm. Bonificación: relaciona el resultado con el área de la superficie.)
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Ex. 51.38Challenge
Determina $k$ tal que $f(x) = x^2 + kx$ tenga recta tangente horizontal en el punto $x = -3/2$ . (Resp: $k = 3$ .)
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Ex. 51.39ChallengeAnswer key
Prueba que si $f$ es una función par y diferenciable en $x = 0$ , entonces $f'(0) = 0$ . (Pista: usa la definición de las derivadas laterales y la propiedad $f(-x) = f(x)$ .)
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Ex. 51.40Proof
Sea $h(x) = f(x) + g(x)$ , con $f$ y $g$ diferenciables en $a$ . Usa la definición de derivada para demostrar que $h'(a) = f'(a) + g'(a)$ (regla de la suma).
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Fuentes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-SA 4.0. Capítulos §1.1 (velocidad instantánea), §1.3 (derivada en un punto), §1.4 (derivada como función), §1.7 (límites, continuidad y diferenciabilidad). Fuente primaria. Actividades guiadas sobre secante→tangente, interpretación gráfica y las cúspides del módulo.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · Herman, Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0. Capítulos §3.1 (Defining the Derivative), §3.2 (The Derivative as a Function). Ejercicios extensivos con cálculo por la definición y aplicaciones en física, economía y biología.
APEX Calculus — Hartman et al. · 5.ª ed. · CC-BY-NC 4.0. Capítulo §2.1 (Instantaneous Rates of Change). Tratamiento formal con ejemplos de recta tangente y normal, tabla de derivadas fundamentales por definición.