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Lección 52 — Reglas de derivación

Las reglas algebraicas de derivación — potencia, constante múltiple, suma, producto, cociente — y las derivadas de las funciones elementales. Nunca más límites en la práctica.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. AP Calculus AB Unit 2 · Equiv. Calculus I §3.3–3.5 · Equiv. Math III japonês cap. 3

(fg)' = f'g + fg'

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definiciones y teoremas formales

Tabla de derivadas elementales

Definition· Derivadas de las funciones elementales

Sea $f$ derivable en $x$ . Las derivadas siguientes son consecuencias directas de la definición por límite y se consideran resultados fundamentales:

Función $f(x)$	Derivada $f'(x)$	Condición
$c$ (constante)	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0, a > 0, a \neq 1$

Reglas operatorias

Theorem· Reglas de derivación (Leibniz y Cauchy)

Sean $f$ y $g$ funciones derivables en $x$ , y $c \in \mathbb{R}$ constante. Entonces:

(c)' = 0

(R1)

what this means · Constante: la derivada de cualquier número constante es cero, pues no hay variación.

(x^n)' = n x^{n-1}

(R2)

what this means · Regla de la potencia: el exponente baja como coeficiente y disminuye en 1. Válida para cualquier exponente real.

(c f)' = c f'

(R3)

what this means · Múltiplo constante: las constantes atraviesan la derivada sin alteración.

(f \pm g)' = f' \pm g'

(R4)

what this means · Suma y diferencia: la derivada se distribuye sobre sumas y diferencias.

(fg)' = f'g + fg'

(R5)

what this means · Regla del producto (Leibniz): el producto genera dos términos. Cada uno diferencia uno de los factores y mantiene el otro intacto.

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0

(R6)

what this means · Regla del cociente: el numerador es f prima por g menos f por g prima; el denominador es g al cuadrado. El signo menos en el numerador es crítico — no se puede invertir el orden.

"Si $f$ y $g$ son funciones derivables, entonces la derivada del producto $(fg)'$ existe y viene dada por $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ." — Active Calculus §2.3

Demostración de la regla del producto

Theorem· Prueba de la regla del producto a partir de la definición

Sea $h(x) = f(x) g(x)$ . Por definición:

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)\,g(x + \Delta x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

Sumamos y restamos $f(x+\Delta x)\,g(x)$ en el numerador:

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)]\,g(x+\Delta x) + f(x)\,[g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}$

Separando los límites y usando la continuidad de $g$ (toda función derivable es continua, luego $g(x + \Delta x) \to g(x)$ ):

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x) + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\blacksquare$

Ejemplos resueltos

Example— 1· Derivada de polinomio (aplicación directa de las reglas R2–R4)

Problema: Calcula $f'(x)$ para $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .

Estrategia: Polinomio = suma de monomios. Aplica R4 (linealidad), R2 (potencia) y R1 (constante) término a término.

Resolución:

$f'(x) = (4x^5)' - (3x^3)' + (7x)' - (2)'$

Aplicando R3 (múltiplo constante) y R2 (potencia):

$= 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0$

$= 20x^4 - 9x^2 + 7$

Verificación: Cada exponente se redujo en 1; cada coeficiente se multiplicó por el exponente original. La constante $-2$ desapareció (R1). Correcto.

Fuente. Active Calculus §2.1 Exercise 2.1.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Regla del producto — polinomial por trigonométrica

Problema: Calcula $h'(x)$ para $h(x) = x^3 \sin x$ .

Estrategia: $h = f \cdot g$ con $f(x) = x^3$ y $g(x) = \sin x$ . Aplica R5: $(fg)' = f'g + fg'$ .

Resolución:

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Aplicando R5:

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Forma factorizada (opcional): $h'(x) = x^2(3 \sin x + x \cos x)$

Verificación: Dos términos (correcto para producto). Primero: derivó $x^3$ , mantuvo $\sin x$ . Segundo: mantuvo $x^3$ , derivó $\sin x$ . Ambas reglas elementales aplicadas correctamente.

Fuente. Active Calculus §2.3 Exercise 2.3.2 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regla del cociente — función racional

Problema: Calcula $k'(x)$ para $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .

Estrategia: $k = f/g$ con $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = x - 3$ . Aplica R6.

Resolución:

$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

Aplicando R6:

$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

Atención: El numerador es $f'g - fg'$ , no $fg' - f'g$ . El signo menos no es conmutativo — invertirlo genera el error más frecuente en esta regla.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Example 3.28 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Producto de exponencial con trigonométrica

Problema: Calcula $p'(x)$ para $p(x) = e^x \cos x$ .

Estrategia: Producto de $f(x) = e^x$ y $g(x) = \cos x$ . Aplica R5 con las derivadas de la tabla.

Resolución:

$f'(x) = e^x$ (notable: $e^x$ se deriva en sí misma)
$g'(x) = -\sin x$

Aplicando R5:

$p'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

Verificación: En $x = 0$ : $p(0) = e^0 \cos 0 = 1$ y $p'(0) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1 - 0 = 1$ . La tangente en $(0, 1)$ tiene pendiente 1, lo que tiene sentido geométricamente (la función crece con pendiente 1 en el origen).

Fuente. Active Calculus §2.2 Exercise 2.2.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Ecuación de la recta tangente con punto crítico

Problema: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ en el punto donde $x = 1$ .

Estrategia: (a) Calcula $y(1)$ para obtener el punto de tangencia. (b) Calcula $y'(x)$ mediante la regla del cociente. (c) Evalúa $y'(1)$ . (d) Escribe en forma punto-pendiente.

Resolución:

(a) Punto de tangencia:

$y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

Punto: $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ .

(b) Derivada por cociente con $f = x$ y $g = x^2 + 1$ :

$y'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

(c) Pendiente en $x = 1$ :

$y'(1) = \frac{1 - 1}{(1+1)^2} = \frac{0}{4} = 0$

(d) Ecuación de la tangente:

$y - \frac{1}{2} = 0 \cdot (x - 1) \implies y = \frac{1}{2}$

La tangente en $x = 1$ es horizontal — tiene sentido, pues $y = x/(x^2+1)$ tiene un máximo local en ese punto (la función crece desde $x=0$ hasta $x=1$ y luego decrece).

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Exercise 176 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 4Modeling 7Challenge 1Proof 1

Ex. 52.1Application
Calcula $(x^5)'$ .
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Ex. 52.2Application
Calcula la derivada de $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
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Ex. 52.3ApplicationAnswer key
Calcula $(\sqrt{x})'$ . Pista: escríbelo como $x^{1/2}$ y aplica R2.
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Ex. 52.4Application
Calcula $\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$ .
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Ex. 52.5ApplicationAnswer key
Calcula $f'(x)$ para $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .
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Ex. 52.6Application
Calcula $\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.7Application
Calcula $f'(x)$ para $f(x) = x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ .
Solve online
Ex. 52.8Application
Calcula $f'(x)$ para $f(x) = x^3 + 2x$ .
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Ex. 52.9Application
Calcula $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.10ApplicationAnswer key
Calcula $g'(x)$ para $g(x) = 3x^4 - 3x^2$ .
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Ex. 52.11Application
Calcula $(\sin x \cdot \cos x)'$ .
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Ex. 52.12ApplicationAnswer key
Calcula $(x e^x)'$ .
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Ex. 52.13Application
Calcula $(x \ln x)'$ .
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Ex. 52.14Application
Calcula $(x^2 \sin x)'$ .
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Ex. 52.15ApplicationAnswer key
Calcula $(e^x \cos x)'$ .
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Ex. 52.16Application
Calcula $(x^2 e^x)'$ .
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Ex. 52.17ApplicationAnswer key
Calcula $(\tan x \cdot e^x)'$ .
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Ex. 52.18Application
Calcula $(x \sin x)'$ .
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Ex. 52.19Application
Calcula $(x^3 \ln x)'$ .
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Ex. 52.20Understanding
Generalización de la regla del producto. Si $f$ , $g$ , $h$ son funciones derivables, ¿cuál es $(fgh)'$ ?
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Ex. 52.21Application
Calcula $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$ para $x \neq 0$ .
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Ex. 52.22Application
Calcula $\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'$ para $x \neq 0$ .
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Ex. 52.23Application
Calcula $\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)'$ .
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Ex. 52.24Application
Calcula $k'(x)$ para $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .
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Ex. 52.25Application
Calcula $\left(\dfrac{3x^2 - x}{x^2 - 1}\right)'$ para $x \neq \pm 1$ .
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Ex. 52.26ApplicationAnswer key
Deriva $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ por la regla del cociente y muestra que $(\cot x)' = -\csc^2 x$ .
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Ex. 52.27Application
Deriva $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ por la regla del cociente y muestra que $(\sec x)' = \sec x \tan x$ .
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Ex. 52.28Application
Calcula $\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)'$ .
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Ex. 52.29ModelingAnswer key
Encuentra la ecuación de la recta tangente a $f(x) = x^2 + 3x$ en el punto $x = 1$ .
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Ex. 52.30ModelingAnswer key
¿En qué puntos la gráfica de $f(x) = x^3 - 3x$ tiene recta tangente horizontal?
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Ex. 52.31Modeling
Un objeto tiene posición $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ metros ( $t$ en segundos). Calcula $v(t)$ y $a(t)$ . Evalúa en $t = 2$ y determina cuándo el objeto está parado.
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Ex. 52.32Modeling
Función de coste: $C(q) = 500 + 50q + 0{,}1q^2$ (en reales). Calcula el coste marginal $C'(q)$ y evalúa en $q = 100$ .
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Ex. 52.33Modeling
Ingreso total: $R(q) = q(200 - q)$ . Calcula el ingreso marginal $R'(q)$ y determina la cantidad que maximiza el ingreso.
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Ex. 52.34Modeling
Encuentra la recta tangente a $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ en $x = 1$ .
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Ex. 52.35Modeling
Para $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ , determina: (a) la velocidad en $t = 2$ ; (b) cuándo el objeto está parado.
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Ex. 52.36UnderstandingAnswer key
Identificación de error. Un estudiante calculó $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . ¿Está bien o mal? Justifica y corrige si es necesario.
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Ex. 52.37Understanding
Identifica qué regla de derivación se aplica a $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$ , aplícala y simplifica $h'(x)$ .
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Ex. 52.38Understanding
Concepto. ¿Por qué la derivada de $e^x$ es "especial"? Explica qué significa $(e^x)' = e^x$ en términos geométricos y numéricos.
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Ex. 52.39Challenge
Desafío: producto de tres funciones. Demuestra que $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ , aplicando la regla del producto dos veces.
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Ex. 52.40Proof
Demostración. Demuestra la regla del producto $(fg)' = f'g + fg'$ a partir de la definición de derivada por límite.
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Fuentes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.1 (Reglas elementales), §2.2 (Seno y coseno), §2.3 (Producto y cociente). Fuente primaria. CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.3 (Reglas de derivación), §3.4 (Derivadas como tasas de variación), §3.5 (Derivadas de trigonométricas). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.3 (Reglas básicas), §2.4 (Producto y cociente). CC-BY-NC.

Definiciones y teoremas formales

Tabla de derivadas elementales

Reglas operatorias

Demostración de la regla del producto

Recta tangente

Ejemplos resueltos

Fuentes