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Lección 53 — Regla de la cadena

Derivada de función compuesta: si y = f(g(x)), entonces dy/dx = f'(g(x))·g'(x). La regla más usada en todo el cálculo aplicado.

Used in: 2.º año EM (16 años) · Equiv. Math II/III japonés §微分 · Equiv. Klasse 11 alemana Abitur

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición y teoría

Enunciado formal

Definition· Regla de la cadena

Sean $g$ diferenciable en $x$ y $f$ diferenciable en $g(x)$ . Entonces la función compuesta $h(x) = f(g(x))$ es diferenciable en $x$ y:

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

(RC)

what this means · La derivada de la composición es el producto de la derivada externa (evaluada en el punto interno) por la derivada interna. Léase de fuera hacia dentro.

En notación de Leibniz, definiendo $u = g(x)$ e $y = f(u)$ :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

(RC-Leibniz)

what this means · La notación de Leibniz hace la regla visualmente mnemónica: las unidades du se 'cancelan' formalmente, como en una fracción.

"La regla de la cadena establece que la derivada de $f(g(x))$ es $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . Es decir, derivamos la función externa $f$ , evaluada en la función interna $g(x)$ , y multiplicamos por la derivada de la función interna." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.6

"Piensa en el proceso de fuera hacia dentro: identifica la función externa, derívala manteniendo la función interna inalterada, y luego multiplica por la derivada de la función interna." — Boelkins, Active Calculus §2.5

Demostración rigurosa

La dificultad es que $g(x+h) - g(x)$ puede ser cero para $h \neq 0$ , invalidando el argumento ingenuo de cancelar $\Delta g$ . La solución emplea la función auxiliar:

$Q(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)} & y \neq g(a) \\ f'(g(a)) & y = g(a) \end{cases}$

$Q$ es continua en $g(a)$ (por la diferenciabilidad de $f$ ). Como $f(g(a+h)) - f(g(a)) = Q(g(a+h)) \cdot [g(a+h) - g(a)]$ , dividiendo entre $h$ y tomando $h \to 0$ obtenemos $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$ .

Casos especiales fundamentales

Función compuesta	Derivada
$[g(x)]^n$	$n\,[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
$\sin(g(x))$	$\cos(g(x)) \cdot g'(x)$
$\cos(g(x))$	$-\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$g'(x)/g(x)$
$\sqrt{g(x)}$	$g'(x) / (2\sqrt{g(x)})$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

Triple composición

Para $h(x) = f(g(k(x)))$ :

(f \circ g \circ k)'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x)

(tripla)

what this means · La regla de la cadena se generaliza: se multiplica la derivada de cada capa, siempre de fuera hacia dentro.

Diagrama de la composición

Flujo de la composición: entrada x, procesada por g para generar u, luego por f para generar y. La tasa total dy/dx es el producto de las tasas individuales.

Ejemplos resueltos

Example— 1· Regla de la potencia generalizada — composición con polinomio

Problema: Calcula la derivada de $h(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Estrategia: La función $h$ es una composición: la función de fuera es $u^5$ y la función de dentro es $u = x^2 + 1$ . Aplicamos la regla de la cadena identificando explícitamente cada capa.

Resolución:

Identificar las capas:
- Función de fuera: $f(u) = u^5$
- Función de dentro: $g(x) = x^2 + 1$
Derivada de la capa de fuera: $f'(u) = 5u^4$ . Evaluada en $g(x)$ : $f'(g(x)) = 5(x^2+1)^4$ .
Derivada de la capa de dentro: $g'(x) = 2x$ .
Aplicar la cadena: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Verificación: Para $x = 0$ : $h(0) = 1^5 = 1$ , $h'(0) = 10 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ . La función tiene mínimo en $x = 0$ (parábola desplazada elevada a la 5.ª potencia), lo cual es coherente con $h'(0) = 0$ .

Fuente. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Regla de la cadena con exponencial y trigonometría

Problema: Calcula la derivada de $f(x) = e^{\sin x}$ .

Estrategia: Composición con la exponencial. La fórmula $\frac{d}{dx}[e^{g(x)}] = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ es un caso especial directo de la cadena.

Resolución:

Capa de fuera: $f(u) = e^u$ , derivada $e^u$ .
Capa de dentro: $g(x) = \sin x$ , derivada $\cos x$ .
Resultado: $f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$

Interpretación: La derivada cambia de signo siempre que $\cos x = 0$ , es decir, en $x = \pi/2 + k\pi$ . En los máximos de $\sin x$ , la derivada se anula — pues $\cos(\pi/2) = 0$ .

Fuente. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regla de la cadena con logaritmo natural

Problema: Calcula la derivada de $g(x) = \ln(3x^2 + 5)$ .

Estrategia: Composición con el logaritmo. La fórmula $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}$ es el caso especial directo.

Resolución:

Capa de fuera: $f(u) = \ln u$ , derivada $1/u$ . Evaluada en $g(x)$ : $\dfrac{1}{3x^2 + 5}$ .
Capa de dentro: $g(x) = 3x^2 + 5$ , derivada $g'(x) = 6x$ .
Resultado: $g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 5} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 5}$

Verificación: Para $x$ grande, $g'(x) \approx \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x} \to 0$ . Tiene sentido: el logaritmo crece cada vez más despacio.

Fuente. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Triple composición — cadena anidada

Problema: Calcula la derivada de $h(x) = \sin(e^{x^2})$ .

Estrategia: Son tres capas anidadas. Aplicamos la regla de la cadena de fuera hacia dentro, una capa a la vez.

Resolución:

Escribe las capas explícitamente:

Capa 1 (más externa): $f_1(u) = \sin u$ , derivada $\cos u$
Capa 2 (intermedia): $f_2(v) = e^v$ , derivada $e^v$
Capa 3 (más interna): $f_3(x) = x^2$ , derivada $2x$

Aplicando la regla de la cadena de fuera hacia dentro:

$h'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

Verificación: Para $x = 0$ : $h'(0) = \cos(1) \cdot 1 \cdot 0 = 0$ . Verificable numéricamente: $h(0+0{,}001) - h(0) \approx 0$ .

Fuente. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6, Example 3.47 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Cadena combinada con regla del producto

Problema: Calcula la derivada de $f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$ .

Estrategia: Es un producto de dos funciones, una de ellas compuesta. Aplicamos primero la regla del producto y luego la cadena en el segundo factor.

Resolución:

Identifica los dos factores del producto:

$u(x) = x^2$ , derivada $u'(x) = 2x$
$v(x) = e^{-x^2}$ , derivada mediante la cadena: $v'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Aplicando la regla del producto $[u \cdot v]' = u' v + u v'$ :

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2}) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$

Factorizando $2x e^{-x^2}$ :

$f'(x) = 2x e^{-x^2}(1 - x^2)$

Interpretación: Los puntos críticos son $x = 0$ y $x = \pm 1$ . Esta función aparece en la distribución normal: el factor $(1-x^2)$ determina los extremos en $x = \pm 1$ .

Fuente. Active Calculus §2.5, Activity 2.5.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 4Modeling 6Challenge 3Proof 1

Ex. 53.1Application
Calcula $\dfrac{d}{dx}[(2x+3)^5]$ .
Solve online
Ex. 53.2ApplicationAnswer key
Calcula $(\sin(4x))'$ .
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Ex. 53.3Application
Calcula $(e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.4Application
Calcula $(\ln(x^2 + 1))'$ .
Solve online
Ex. 53.5Application
Calcula $(\sqrt{x^2+1})'$ .
Solve online
Ex. 53.6Application
Calcula $(\cos^2 x)'$ .
Solve online
Ex. 53.7Application
Calcula $(\tan(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.8Application
Calcula $(\sin(\cos x))'$ .
Solve online
Ex. 53.9Application
Calcula $(e^{\sin x})'$ .
Solve online
Ex. 53.10Application
Calcula $((\ln x)^3)'$ .
Solve online
Ex. 53.11Application
Calcula $(\sqrt{1-x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.12Application
Calcula $\left(\dfrac{1}{x^2+4}\right)'$ .
Solve online
Ex. 53.13ApplicationAnswer key
Calcula $(2^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.14ApplicationAnswer key
Calcula $(\sin^3(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.15ApplicationAnswer key
Calcula $(\arctan(x^2))'$ . (Resp: $2x/(1+x^4)$ .)
Solve online
Ex. 53.16Application
Calcula $(\ln(\sin x))'$ .
Solve online
Ex. 53.17Application
Calcula $(e^{\cos(2x)})'$ .
Solve online
Ex. 53.18Application
Calcula $(\sqrt{\tan x})'$ .
Solve online
Ex. 53.19Application
Calcula $(\sin(\sqrt{x}))'$ .
Solve online
Ex. 53.20Application
Calcula $((3x+5)^{10})'$ .
Solve online
Ex. 53.21ApplicationAnswer key
Calcula $(\cos(3x^2+2))'$ .
Solve online
Ex. 53.22Application
Calcula $(\ln(\ln x))'$ .
Solve online
Ex. 53.23Application
Calcula $(x \cdot \sin(x^2))'$ .
Solve online
Ex. 53.24ApplicationAnswer key
Calcula $(x \cdot e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.25Application
Calcula $(\sin(\sqrt{x^2+1}))'$ .
Solve online
Ex. 53.26ApplicationAnswer key
Calcula $(\tan^2(3x))'$ .
Solve online
Ex. 53.27Understanding
Encuentra la recta tangente a la curva $y = (x^2+1)^3$ en el punto $x = 1$ . (Resp: $y = 24x - 16$ .)
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Ex. 53.28Understanding
Análisis de error. Un estudiante escribe $(e^{x^2})' = xe^{x^2}$ . ¿Cuál es el error específico cometido?
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Ex. 53.29UnderstandingAnswer key
Conceptual. Para derivar $\sin(x^2)$ , ¿qué regla se aplica? ¿Por qué no es la regla del producto?
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Ex. 53.30Understanding
Calcula $(e^{e^x})'$ .
Solve online
Ex. 53.31Modeling
Física. La posición de una partícula en movimiento armónico es $s(t) = \sin(\omega t)$ . Calcula la aceleración $s''(t)$ y muestra que $s''(t) = -\omega^2 s(t)$ .
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Ex. 53.32Modeling
Física nuclear. El decaimiento radiactivo sigue $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ . Calcula $N'(t)$ y muestra que $N'(t) = -\lambda N(t)$ .
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Ex. 53.33Modeling
Biología. El crecimiento logístico es $P(t) = \dfrac{K}{1 + e^{-rt}}$ . Calcula $P'(0)$ .
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Ex. 53.34Modeling
Estadística. Calcula $f'(x)$ para la densidad normal estándar $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ .
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Ex. 53.35ModelingAnswer key
Finanzas. El valor presente de un flujo de caja $S$ descontado a la tasa $r$ es $V(t) = S\,e^{-rt}$ . Calcula $dV/dt$ e interpreta el resultado.
Solve online
Ex. 53.36Modeling
Física. La energía cinética es $E(v) = \tfrac{1}{2}mv^2$ y la velocidad es $v(t) = at$ . Calcula $dE/dt$ mediante la regla de la cadena y comprueba con la derivada directa.
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Ex. 53.37Challenge
Calcula $(\sin(\cos(\sin x)))'$ .
Solve online
Ex. 53.38ChallengeAnswer key
Calcula $\dfrac{d}{dx}\left[(x + \sqrt{x^2+1})^n\right]$ .
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Ex. 53.39Challenge
Calcula $(\sin(e^{x^2}))'$ .
Solve online
Ex. 53.40Proof
Demostración. Explica por qué el argumento ingenuo $\frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{h}$ falla como demostración rigurosa de la regla de la cadena. ¿Cómo resuelve el problema la función auxiliar $Q(y)$ ?
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Fuentes

Active Calculus 2.0 — Boelkins, Austin, Schlicker · 2024 · §2.5. Fuente primaria. CC-BY-NC-SA.
Calculus Volume 1 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · §3.6. CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.5. CC-BY-NC.