Lección 54 — Derivada implícita

Para el círculo $x^2 + y^2 = 1$, encuentra $dy/dx$.

Para la elipse $x^2/4 + y^2/9 = 1$, calcula $dy/dx$.

Para $xy = 1$, calcula $dy/dx$ mediante diferenciación implícita. Verifica que coincide con derivar $y = 1/x$ explícitamente.

Para la hipérbola $x^2/9 - y^2/16 = 1$, calcula $dy/dx$.

Para $x^3 + y^3 = 6xy$, calcula $dy/dx$.

Para $x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$, calcula $dy/dx$.

Para $x^2 y + xy^2 = 6$, calcula $dy/dx$.

Para $\tan y = x$, calcula $dy/dx$. Interpreta el resultado como la derivada de $\arctan x$.

Para $e^y = xy$, calcula $dy/dx$.

Para $\ln(xy) = x + y$, calcula $dy/dx$.

Para $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$, calcula $dy/dx$ y evalúa en el punto $(1, 9)$.

Para $\cos(x + y) = y$, calcula $dy/dx$.

Para $\sin(xy) = x$, calcula $dy/dx$.

Para $y^3 + 3y = x$, calcula $dy/dx$ y discute si la derivada existe en todos los puntos.

Encuentra la recta tangente al círculo $x^2 + y^2 = 25$ en el punto $(3, 4)$.

Para la elipse $x^2 + 4y^2 = 16$, encuentra la recta tangente en el punto $(2, \sqrt{3})$.

Para $x^2 + xy + y^2 = 7$, encuentra la recta tangente en $(1, 2)$.

Para $x^3 + y^3 = 9$, encuentra la recta tangente en $(1, 2)$.

Para $y\sin x = x\cos y$, calcula $dy/dx$.

Para la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$, determina todos los puntos de tangente horizontal y vertical.

Para el Folio de Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$, calcula $dy/dx$ y determina los puntos de tangente horizontal.

Para el Folio de Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$, encuentra la tangente en el punto $(3/2, 3/2)$.

La ley de los gases ideales establece $PV = nRT$. Manteniendo $T$ constante, usa la diferenciación implícita para encontrar $dP/dV$.

Para la curva $y^2 + xy = 12$, determina si existen puntos de tangente horizontal o vertical.

En microeconomía, la curva de indiferencia $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ describe combinaciones de dos bienes que dejan al consumidor indiferente. Usando la diferenciación implícita, encuentra $dx_2/dx_1$ — la tasa marginal de sustitución.

Para la lemniscata $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$, calcula $dy/dx$ en el punto $(\sqrt{3}/2, 1/2)$.

Usa la derivada logarítmica para encontrar $y'$ si $y = x^x$ ($x > 0$).

Usa la derivada logarítmica para encontrar $y'$ si $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$). Evalúa en $x = \pi$.

Para $x^2 + y^2 = r^2$, encuentra $d^2y/dx^2$ en términos de $x$, $y$ y $r$. Interpreta el signo de $y''$ para $y > 0$.

Para la elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, calcula $dy/dx$ y $d^2y/dx^2$.

¿Por qué es necesaria la condición $F_y \neq 0$ para aplicar el Teorema de la Función Implícita?

¿Cuál es la principal ventaja de la diferenciación implícita frente a despejar $y$ y derivar explícitamente?

Usa la diferenciación implícita para demostrar que la tangente al círculo $x^2 + y^2 = r^2$ es siempre perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Para una curva $F(x,y)=0$, explica en qué condiciones existe la recta tangente, posiblemente vertical, y cuándo el punto es singular.

Verifica que derivar $x^2 + y^2 = r^2$ implícitamente da el mismo resultado que derivar $y = \pm\sqrt{r^2-x^2}$ explícitamente.

Al diferenciar implícitamente $e^{xy} = x + y$ respecto a $x$, ¿cuánto vale $\frac{d}{dx}[e^y]$? ¿Por qué no es simplemente $e^y$?

Para la curva $x^4 + y^4 = 1$, encuentra todos los puntos de tangente horizontal y vertical.

Para la elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, calcula $y''$ implícitamente y simplifica usando la ecuación de la elipse. (Resp: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$.)

Para $\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$, calcula $dy/dx$ en $(0, 0)$. Explica por qué el punto es singular para la fórmula directa.

Demostración. Prueba que $(x^a)' = ax^{a-1}$ para $a \in \mathbb{R}$ arbitrario ($x > 0$), usando $x^a = e^{a\ln x}$ y la regla de la cadena. Explica por qué la prueba cubre el caso $a$ irracional.