Lección 55 — Derivadas de orden superior

Sea $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$. Calcula $f'(x)$ y $f''(x)$.

Sea $f(x) = x^5 - 3x^2 + x + 2$. Calcula $f''(x)$.

Sea $f(x) = \sin x$. Calcula $f''(x)$.

Sea $f(x) = \cos(2x)$. Calcula $f''(x)$.

Sea $f(x) = \ln x$. Calcula $f''(x)$.

Sea $f(x) = xe^x$. Calcula $f''(x)$.

Sea $f(x) = x^2 \ln x$. Calcula $f''(x)$.

Sea $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Calcula $f'''(x)$.

Sea $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Calcula $f''(0)$.

Sea $f(x) = \sqrt{x}$. Calcula $f''(x)$.

Sea $f(x) = \cos(2x)$. Calcula $f^{(4)}(x)$.

Sea $f(x) = x^4$. Calcula $f^{(5)}(x)$.

Sea $f(x) = e^{2x}$. Determina $f^{(n)}(x)$ para todo $n \geq 1$.

Determina $(\sin x)^{(100)}$.

Sea $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Determina la fórmula general $f^{(n)}(x)$.

Para $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$, determina los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.

Para $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, determina los intervalos de concavidad y el punto de inflexión.

Para $f(x) = e^{-x^2}$, calcula $f''(0)$.

Para $f(x) = x^5 - 5x^4$, determina los puntos de inflexión.

Si $f''(c) = 0$, ¿podemos concluir que $c$ es punto de inflexión de $f$?

Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$, ¿qué se concluye sobre $c$?

Determina la concavidad de $f(x) = e^x$ en todo el dominio.

Analiza la concavidad de $f(x) = x^3$ e identifica el punto de inflexión.

Para $f(x) = x^4 - 6x^2$, determina los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

Explica por qué $(\sin x)^{(4)} = \sin x$ y por qué $(e^x)^{(n)} = e^x$ para todo $n \geq 0$.

Deriva la fórmula de $(fg)''$ a partir de la regla del producto, e identifica la analogía con el binomio de Newton.

Sea $f(x) = (1 + x)^{10}$. Calcula $f^{(10)}(0)$.

Posición de una partícula: $s(t) = 4t^3 - t^4$ (metros, $t$ en segundos). Calcula $v(1)$, $a(1)$ y $j(1)$, e interpreta $j(1) = 0$.

Péndulo: $\theta(t) = A\cos(\omega t)$. Calcula $\ddot{\theta}$ y verifica que $\ddot{\theta} + \omega^2\theta = 0$.

Coste de producción: $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ (miles de BRL, en reales). Calcula $C''(q)$ e interpreta el punto de inflexión como "coste marginal mínimo".

Posición de un vehículo: $s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$ (metros). Calcula $v(t)$, $a(t)$, $j(t)$ y determina cuándo la aceleración es cero.

Altura de un proyectil: $h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$. Calcula $h''(t)$ e identifica su significado físico.

En un sistema mecánico, la energía potencial $U(\theta)$ tiene un punto crítico en $\theta_0$. ¿Qué implica $U''(\theta_0) > 0$ frente a $U''(\theta_0) < 0$ sobre la estabilidad del equilibrio?

Usando las tres primeras derivadas de $f(x) = e^x$ en $a = 0$, escribe el polinomio de Taylor $T_2(x)$ y estima el error para $x = 0{,}1$.

Escribe el polinomio de Taylor de grado 2 de $f(x) = \cos x$ en torno a $a = 0$ y verifica para $x = 0{,}1$.

Calcula $f^{(n)}(x)$ para $f(x) = \ln(1+x)$ y escribe el polinomio de Taylor $T_n(x)$ en torno a $a = 0$.

Para $f(x) = x^x$ ($x > 0$), calcula $f''(x)$ usando derivación logarítmica.

Enuncia la fórmula de Leibniz $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$ y describe la estructura del argumento por inducción que la demuestra.

Demostración. Sea $f$ dos veces diferenciable en $[0, 1]$, con $f(0) = f(1) = 0$ y $f' \not\equiv 0$. ¿Existe $c \in (0, 1)$ con $f''(c) = 0$? Justifica.

Demostración. Prueba que si $f$ es dos veces diferenciable y $f''(x) \geq 0$ en $(a, b)$, entonces $f$ es convexa en $(a, b)$.