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Lição 56 — Derivadas de funções inversas

Teorema da derivada da inversa e derivação de arcsin, arccos, arctan, ln, log_a, a^x e hiperbólicas inversas via diferenciação implícita.

Used in: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math III japonês cap. 3 · Equiv. Analysis Grundkurs/Leistungskurs alemão · IB Math HL tópico 6

(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}, \quad b = f(a)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e tabela completa

Teorema da derivada da função inversa

"Se $f$ é uma função diferenciável, um-a-um, com $f(a) = b$ e $f'(a) \neq 0$ , então $f^{-1}$ é diferenciável em $b$ e $(f^{-1})'(b) = 1/f'(a)$ ." — Active Calculus §2.6, Theorem 2.6.2

Demonstração via regra da cadeia

Da identidade $f(f^{-1}(y)) = y$ , diferenciando ambos os lados em relação a $y$ pela regra da cadeia:

$f'(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1})'(y) = 1$

Como $f'(f^{-1}(y)) \neq 0$ por hipótese, dividindo:

$\boxed{(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}}$

Interpretação geométrica

O gráfico de $f^{-1}$ é o reflexo do gráfico de $f$ na reta $y = x$ . Uma tangente de inclinação $m$ no gráfico de $f$ no ponto $(a, b)$ vira inclinação $1/m$ no gráfico de $f^{-1}$ no ponto $(b, a)$ — a reflexão troca os papéis de $\Delta x$ e $\Delta y$ .

Reflexão na diagonal $y = x$ transforma inclinação $m$ em $1/m$ . O ponto $(a, b)$ de $f$ vira $(b, a)$ de $f^{-1}$ .

Tabela de derivadas de funções inversas

Função	Domínio	Derivada
$\arcsin x$	$(-1, 1)$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arccos x$	$(-1, 1)$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arccot}\, x$	$\mathbb{R}$	$-\dfrac{1}{1 + x^2}$
$\text{arcsec}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arccsc}\, x$	$\vert x \vert > 1$	$-\dfrac{1}{\vert x \vert\sqrt{x^2 - 1}}$
$\ln x$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x\;(a>0,\,a\neq1)$	$x > 0$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\text{arcsinh}\, x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
$\text{arccosh}\, x$	$x > 1$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$
$\text{arctanh}\, x$	$	x

"Em geral, há uma fórmula para a derivada de $a^x$ para qualquer $a > 0$ com $a \neq 1$ : $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ . Esta fórmula é um caso especial da regra da cadeia aplicada a $a^x = e^{x \ln a}$ ." — OpenStax Calculus Volume 1 §3.7

Cadeia com inversa trig

Para $u = g(x)$ diferenciável:

$\frac{d}{dx}\arcsin(g(x)) = \frac{g'(x)}{\sqrt{1 - g(x)^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan(g(x)) = \frac{g'(x)}{1 + g(x)^2}$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Derivada de arctan via diferenciação implícita (fundamental)

Problema: Derive $(\arctan x)'$ partindo da definição via diferenciação implícita.

Estratégia: Usamos o método padrão: escrever a relação inversa $\tan y = x$ , derivar implicitamente, e reescrever o resultado em termos de $x$ .

Resolução:

Seja $y = \arctan x$ . Por definição da inversa, $\tan y = x$ com $y \in (-\pi/2,\, \pi/2)$ .
Derive ambos os lados em relação a $x$ : $\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Isole $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$
Reescreva $\sec^2 y$ : pela identidade $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ e usando $\tan y = x$ : $\sec^2 y = 1 + x^2$
Portanto: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

Verificação: Em $x = 0$ : $(f^{-1})'(0) = 1/(1+0) = 1$ . Como $f(x) = \tan x$ tem $f'(0) = \sec^2 0 = 1$ , e $1/f'(0) = 1$ . Confere.

Fonte. Active Calculus §2.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Derivada de ln via inversa de exp (fundamental)

Problema: Derive $(\ln x)'$ partindo de $e^y = x$ .

Estratégia: $\ln$ é a inversa de $e^x$ . Aplicamos diferenciação implícita e usamos que $e^y = x$ .

Resolução:

Seja $y = \ln x$ . Então $e^y = x$ (definição do logaritmo natural).
Derive ambos os lados em relação a $x$ : $e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
Isole $dy/dx$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$
Substitua $e^y = x$ : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

Resultado: $(\ln x)' = 1/x$ para $x > 0$ .

Derivada de $\log_a x$ : Como $\log_a x = \ln x / \ln a$ : $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Verificação: Em $x = 1$ : $(\ln x)'\big|_{x=1} = 1$ . A reta tangente a $y = \ln x$ em $(1, 0)$ tem inclinação 1. Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Regra da cadeia com arcsin — composicao arcsin(2x)

Problema: Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .

Estratégia: Aplica-se a fórmula $(\arcsin u)' = u'/\sqrt{1-u^2}$ com $u = 2x$ .

Resolução:

Identifique $u = 2x$ , portanto $u' = 2$ .
Aplique a regra da cadeia: $\frac{d}{dx}\arcsin(2x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$
O resultado é válido para $|2x| < 1$ , ou seja, $x \in (-1/2,\, 1/2)$ .

Verificação: Para $x = 0$ : derivada $= 2/\sqrt{1} = 2$ . Por diferença finita: $\arcsin(2 \cdot 0{,}01) \approx 0{,}020$ , dividido por $0{,}01$ dá $\approx 2{,}00$ . Confere.

Fonte. Active Calculus §2.6, Exercício 2.6.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Teorema da inversa sem formula explicita — calcular (f^{-1})'(b)

Problema: Seja $f(x) = x^3 + 2x + 1$ . Calcule $(f^{-1})'(4)$ .

Estratégia: Não sabemos $f^{-1}$ explicitamente, mas podemos usar $(f^{-1})'(b) = 1/f'(f^{-1}(b))$ . Precisamos encontrar $a$ tal que $f(a) = 4$ .

Resolução:

Encontre $a$ tal que $f(a) = 4$ : $a^3 + 2a + 1 = 4 \implies a^3 + 2a - 3 = 0$

Teste $a = 1$ : $1 + 2 - 3 = 0$ . Logo $a = 1$ , ou seja, $f(1) = 4$ .

Calcule $f'(x) = 3x^2 + 2$ .
Avalie em $a = 1$ : $f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$ .
Aplique o teorema: $(f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$

Verificação: $f$ é estritamente crescente ( $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ para todo $x$ ), logo $f^{-1}$ existe. Em $b = 4$ , a inclinação de $f^{-1}$ é $1/5$ .

Fonte. Active Calculus §2.6, Exercício 2.6.4 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Diferenciacao logaritmica — derivada de x^x

Problema: Derive $y = x^x$ para $x > 0$ .

Estratégia: $x^x$ não é potência fixa nem exponencial fixa — usa-se diferenciação logarítmica: tome $\ln$ dos dois lados e derive.

Resolução:

Tome $\ln$ dos dois lados: $\ln y = x \ln x$
Derive implicitamente em $x$ : $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
Isole $dy/dx$ multiplicando por $y = x^x$ : $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

Caso particular: Em $x = 1$ : $dy/dx = 1^1(\ln 1 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$ . A reta tangente a $y = x^x$ em $(1, 1)$ tem inclinação 1.

Generalização: Para $y = f(x)^{g(x)}$ , a diferenciação logarítmica dá: $\frac{dy}{dx} = f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\ln f(x) + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)}\right)$

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.7 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 3Modeling 8Challenge 2Proof 1

Ex. 56.1Application
Qual é a derivada de $y = \arcsin x$ ?
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Ex. 56.2Application
Qual é a derivada de $y = \arctan x$ ?
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Ex. 56.3Application
Derive $y = \arccos x$ por diferenciação implícita. Explique por que o resultado difere de $(\arcsin x)'$ apenas no sinal.
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Ex. 56.4ApplicationAnswer key
Derive $y = \ln x$ por diferenciação implícita.
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Ex. 56.5Application
Derive $y = \log_2 x$ .
Solve online
Ex. 56.6Application
Qual é a derivada de $y = a^x$ (com $a > 0$ , $a \neq 1$ )?
Solve online
Ex. 56.7Application
Derive $y = \text{arcsinh}\, x$ por diferenciação implícita.
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Ex. 56.8Application
Derive $y = \text{arctanh}\, x$ (para $|x| < 1$ ).
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Ex. 56.9Application
Seja $f(x) = x^3 + x$ . Dado que $f(1) = 2$ , calcule $(f^{-1})'(2)$ .
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Ex. 56.10ApplicationAnswer key
Seja $f(x) = e^x + x$ . Dado que $f(0) = 1$ , calcule $(f^{-1})'(1)$ .
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Ex. 56.11Application
Calcule $\dfrac{d}{dx} 3^x$ e avalie em $x = 1$ . Por que a regra de potência $nx^{n-1}$ não se aplica?
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Ex. 56.12Application
Calcule $\dfrac{d}{dx} 2^{x^2}$ .
Solve online
Ex. 56.13Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(2x)$ .
Solve online
Ex. 56.14Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arctan(x^2)$ .
Solve online
Ex. 56.15ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(e^x)$ . Qual é o domínio desta derivada?
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Ex. 56.16Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arctan(\ln x)$ .
Solve online
Ex. 56.17Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(x^3)$ .
Solve online
Ex. 56.18Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}(\arctan x)^2$ .
Solve online
Ex. 56.19Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}(\arcsin x + \arccos x)$ . Explique o resultado geometricamente.
Solve online
Ex. 56.20Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\ln(\arctan x)$ e especifique o domínio.
Solve online
Ex. 56.21Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\!\left[x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]$ .
Solve online
Ex. 56.22Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\ln(\sec x + \tan x)$ .
Solve online
Ex. 56.23ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\arctan x}{x}\right)$ .
Solve online
Ex. 56.24Application
Derive $y = \text{arcsec}\, x$ para $x > 1$ .
Solve online
Ex. 56.25Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\text{arccosh}(\ln x)$ . Qual é o domínio?
Solve online
Ex. 56.26Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\!\left[(\arctan x)\ln(x^2+1)\right]$ .
Solve online
Ex. 56.27ModelingAnswer key
Lei de Snell. O ângulo de refração satisfaz $\theta_2 = \arcsin\!\left(\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right)$ . Calcule $d\theta_2/d\theta_1$ em $\theta_1 = 0$ .
Solve online
Ex. 56.28Modeling
GPS. O ângulo de elevação de um satélite é $\theta = \arctan(h/d)$ , onde $h$ é a altitude e $d$ a distância horizontal (fixo). Calcule a sensibilidade $d\theta/dh$ .
Solve online
Ex. 56.29Modeling
Pêndulo. O ângulo do pêndulo satisfaz $\theta = \arcsin(s/L)$ , onde $s$ é o arco e $L$ o comprimento. Calcule $d\theta/ds$ .
Solve online
Ex. 56.30ModelingAnswer key
Use diferenciação logarítmica para calcular $\dfrac{d}{dx} x^{\sin x}$ (para $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 56.31ModelingAnswer key
Use diferenciação logarítmica para calcular $\dfrac{d}{dx} x^x$ (para $x > 0$ ).
Solve online
Ex. 56.32Modeling
Função de erro. Seja $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ . Calcule $F'(x)$ pelo TFC e depois determine $(F^{-1})'(0)$ .
Solve online
Ex. 56.33Modeling
Finanças. A função $V(\sigma) = \text{BS}(\sigma)$ dá o preço de uma opção como função da volatilidade. A sensibilidade do preço à volatilidade é o Vega. Qual é a sensibilidade da volatilidade implícita ao preço de mercado, $d\sigma_{\text{imp}}/dV$ ?
Solve online
Ex. 56.34Modeling
Calcule $\dfrac{d}{dx}\arcsin(1/x)$ para $|x| > 1$ e compare com a derivada de $\text{arcsec}\, x$ .
Solve online
Ex. 56.35UnderstandingAnswer key
Por que uma função precisa ser estritamente monótona (e não apenas contínua) para ter função inversa bem definida?
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Ex. 56.36UnderstandingAnswer key
O que acontece geometricamente na fórmula da derivada da inversa quando $f'(a) = 0$ ?
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Ex. 56.37Understanding
Identidade. Prove que $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$ para todo $x \in [-1, 1]$ usando derivadas (mostre que a diferença é constante e avalie em $x = 0$ ).
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Ex. 56.38Challenge
Função W de Lambert. $W(x)$ satisfaz $W(x)\,e^{W(x)} = x$ . Derive $W'(x)$ por diferenciação implícita.
Solve online
Ex. 56.39Challenge
Use diferenciação logarítmica para calcular $\dfrac{d}{dx}(\ln x)^{\ln x}$ para $x > 1$ .
Solve online
Ex. 56.40ProofAnswer key
Demonstração. Prove que $(f^{-1})'(y) = 1/f'(f^{-1}(y))$ usando a identidade $f(f^{-1}(y)) = y$ e a regra da cadeia.
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Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §2.6 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Fonte primária. Seção gratuita online com atividades de descoberta.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.7 "Derivatives of Inverse Functions" · CC-BY-NC-SA. Tabela completa, exemplos de diferenciação logarítmica.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.7 e §6.6 · CC-BY-NC. PDF gratuito. Hiperbólicas inversas e composições avançadas.