Clube da Matemática

Método formal y modelos canónicos

Estrategia general para tasas relacionadas

Identifica las variables dinámicas (dependen de $t$ ) y las constantes del problema.
Escribe la ecuación geométrica o física que relaciona las variables — válida para todo $t$ .
Deriva ambos lados en relación a $t$ , usando la regla de la cadena en cada variable dinámica.
Sustituye los valores numéricos del instante de interés (nunca antes de derivar).
Aísla la tasa deseada y verifica la unidad y el signo.

Modelos canónicos

Escenario	Ecuación fundamental	Variables dinámicas
Globo esférico	$V = \frac{4}{3}\pi r^3$	$V(t),\; r(t)$
Escalera deslizante	$x^2 + y^2 = L^2$	$x(t),\; y(t)$
Tanque cónico	$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$	$V(t),\; r(t),\; h(t)$
Dos carros divergiendo	$D^2 = x^2 + y^2$	$x(t),\; y(t),\; D(t)$
Sombra (semejanza)	razón proporcional	distancia, sombra
Ángulo de elevación	$\tan\theta = h/x$	$\theta(t),\; x(t)$

Regla de la cadena — forma general

Si $F(x_1(t), \ldots, x_n(t)) = C$ (constante), entonces:

$\frac{d}{dt}F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\dot x_i = 0$

Diferenciación implícita en $t$ . El resultado es una ecuación lineal en las tasas $\dot x_i$ , de la cual se aísla la deseada.

Error clásico: sustituir antes de derivar

Si $r = 5$ es el valor en el instante de interés, sustituir $r = 5$ antes de derivar reduce $r$ a constante y hace $dr/dt$ desaparecer. El error elimina la información que se quiere calcular.