Clube da Matemática

Definiciones y teoremas

Diferenciabilidad en un punto

Definición. Sea $f$ definida en un intervalo abierto que contiene a $a$ . Decimos que $f$ es diferenciable en $a$ si el límite

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

existe y es un número real finito. El valor de ese límite es la derivada de $f$ en $a$ .

Derivadas laterales. Se definen

$f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

$f$ es diferenciable en $a$ si y solo si $f'_-(a) = f'_+(a)$ (ambas finitas).

Teorema fundamental (diferenciabilidad $\Rightarrow$ continuidad)

Teorema. Si $f$ es diferenciable en $a$ , entonces $f$ es continua en $a$ .

Demostración. Escribe $f(a+h) - f(a) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h$ . Cuando $h \to 0$ , el factor $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a)$ (finito) y $h \to 0$ , luego el producto $\to 0$ . Por lo tanto $\lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a)$ , es decir, $f$ es continua en $a$ . $\square$

La recíproca es falsa. $f(x) = |x|$ es continua en $0$ pero no diferenciable en $0$ .

Tipos de puntos de no-diferenciabilidad

Tipo	Ejemplo en $0$	Qué ocurre
Pico (corner)	$\\|x\\|$	$f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
Cúspide	$x^{2/3}$	$f'_\pm(0) = \pm\infty$
Tangente vertical	$x^{1/3}$	$f'(0) = +\infty$
Descontinuidad de salto	$\text{sgn}(x)$	$f$ no continua
Oscilación sin límite	$x\sin(1/x),\ f(0)=0$	el límite del cociente no existe

Jerarquía $C^k$

Sea $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalo abierto.

$C^0(I)$ : funciones continuas en $I$ .
$C^1(I)$ : funciones diferenciables en $I$ con $f'$ continua.
$C^k(I)$ : $k$ veces diferenciables con $f^{(k)}$ continua ( $k \geq 1$ ).
$C^\infty(I) = \bigcap_{k \geq 0} C^k(I)$ : funciones suaves (infinitamente diferenciables).
$C^\omega(I)$ : funciones analíticas — representadas por serie de Taylor convergente en toda vecindad de cada punto.

Inclusiones estrictas:

$C^\omega \subsetneq C^\infty \subsetneq \cdots \subsetneq C^2 \subsetneq C^1 \subsetneq C^0.$

Ejemplo: $C^\infty$ pero no $C^\omega$ (Cauchy)

$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$

Esta función es $C^\infty(\mathbb{R})$ y $f^{(n)}(0) = 0$ para todo $n \geq 0$ , pero $f \not\equiv 0$ . Luego $f \notin C^\omega$ .

Función de Weierstrass (continua, en ningún lugar diferenciable)

$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), \quad 0 < a < 1,\ b \text{ entero impar},\ ab > 1 + \tfrac{3}{2}\pi.$

$W$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y no diferenciable en ningún punto. Destruye la intuición de que "continua implica derivable en casi todo punto".