Lição 60 — Consolidação Trim 6: derivadas

Calcule $f'(3)$ pela definição de derivada para $f(x) = x^2$.

Calcule $f'(1)$ pela definição para $f(x) = 1/x$.

Calcule $f'(4)$ pela definição para $f(x) = \sqrt{x}$.

O que é $f'(a)$ pela definição formal?

Seja $g(x) = x^2 \cos(1/x)$ para $x \neq 0$ e $g(0) = 0$. Calcule $g'(0)$ usando a definição.

Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$.

Calcule $h'(x)$ para $h(x) = e^x \sin x$.

Calcule $q'(x)$ para $q(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$.

Calcule $p'(x)$ para $p(x) = x \sin x$.

Calcule $r'(x)$ para $r(x) = \dfrac{\sin x}{x^2}$ e simplifique.

Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^3 e^x$ e fatore a resposta.

Calcule $y'(2)$ para $y(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x + 1$.

Qual é a fórmula correta para a derivada do produto $u(x)\cdot v(x)$?

Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$.

Calcule $f'(x)$ para $f(x) = (2x+1)^5$.

Calcule $g'(x)$ para $g(x) = \sin(x^3)$.

Calcule $k'(x)$ para $k(x) = e^{x^2}$.

Calcule $h'(x)$ para $h(x) = \ln(2x + 3)$.

Calcule $m'(x)$ para $m(x) = \arcsin(x^2)$.

Calcule $p'(x)$ para $p(x) = \cos(\sin x)$.

Calcule $f'(x)$ para $f(x) = x^x$ ($x > 0$) usando logaritmização.

Calcule $w'(x)$ para $w(x) = \ln(\sin(3x) + 2)$.

Calcule $y'$ por derivação implícita para $x^2 + y^2 = 25$.

Calcule $y'$ em $(1, 1)$ para a curva $x^3 + y^3 = 2$.

Calcule $y'$ em $(0, \pi/2)$ para $\sin(xy) = y$.

Calcule $y'$ para a elipse $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ e descreva a tangente em $(3, 0)$.

O que significa "tratar $y$ como função implícita de $x$" ao derivar uma equação?

Calcule $y''$ implicitamente para $x^2 + y^2 = r^2$.

Calcule $y'$ para $x^2 y + xy^2 = 6$.

Calcule $f''(x)$ para $f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$.

Calcule $f^{(4)}(x)$ para $f(x) = \sin x$.

Calcule $f'(x)$ para $f(x) = \arctan x$.

Calcule $g'(x)$ para $g(x) = \arctan(2x)$.

Calcule $h'(x)$ para $h(x) = \ln(2x)$ e identifique o erro mais comum.

Calcule $f'(x)$ para $f(x) = a^x$, com $a > 0$ e $a \neq 1$.

Calcule $f^{(50)}(x)$ para $f(x) = \sin(2x)$.

Use a linearização de $f(x) = e^x$ em $a = 0$ para aproximar $e^{0{,}1}$.

Use a linearização de $f(x) = \sqrt{x}$ em $a = 25$ para aproximar $\sqrt{25{,}1}$.

Use a linearização de $f(x) = \ln x$ em $a = 1$ para aproximar $\ln(1{,}05)$.

O que é geometricamente a linearização $L(x)$ de $f$ em $a$?

O raio de uma esfera é $r = 5$ cm com erro de medição $dr = 0{,}1$ cm. Use o diferencial para estimar o erro absoluto e relativo no volume $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$.

Se o erro relativo no raio de uma esfera é $1\%$, qual é o erro relativo no volume? Justifique com diferenciais.

O volume de uma esfera cresce a $2$ cm³/s. Qual é $dr/dt$ quando $r = 2$ cm?

Um cone invertido tem razão raio/altura $r/h = 1/2$. Água entra a $3$ m³/min. Qual é $dh/dt$ quando $h = 2$ m?

Uma escada de $8$ m apoia-se na parede. O pé desliza a $1$ m/s. Quando o pé está a $5$ m da parede, com que velocidade o topo desce?

Dois carros partem de uma cruzamento: um vai para norte a $40$ km/h, outro para leste a $30$ km/h. Qual é a taxa de variação da distância entre eles quando o primeiro percorreu $4$ km e o segundo $3$ km?

Mostre que, se o raio de uma circunferência cresce a taxa constante $c$ cm/s, então a taxa de variação da área é proporcional ao raio $r$.

O raio de uma circunferência cresce a $1$ cm/s. Calcule a taxa de variação da área quando $r = 3$ cm.

Analise a diferenciabilidade de $f(x) = |x|$ em $x = 0$.

Determine $a$ e $b$ para que $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ ax + b, & x \geq 1 \end{cases}$ seja de classe $C^1$ em $x = 1$.