Lección 62 — Optimización aplicada

Con 100 m de cerca, ¿cuál es la mayor área rectangular que se puede cercar?

Un pasto rectangular se divide por la mitad con una cerca paralela al ancho. La cerca total (perímetro + divisoria) es 120 m. Maximiza el área.

Una taza cilíndrica (fondo pero sin tapa) debe tener volumen de 500 cm³. ¿Qué dimensiones minimizan el material usado?

Una caja rectangular de base cuadrada y sin tapa debe tener volumen de 32 cm³. El material de la base cuesta R$ 2/cm² y el de los laterales R$ 1/cm². Minimiza el costo total.

La suma de dos números positivos es 20. Determina los dos números que maximizan su producto.

Encuentra el número positivo $$ tal que la suma de $$ con su recíproco multiplicado por 4 sea mínima.

Determina el punto del eje $$ más próximo del punto $$.

Determina el punto de la recta $$ más próximo del punto $$.

De una chapa de cartón de 24 cm × 9 cm, se corta un cuadrado en los rincones y se doblan las solapas. Determina el corte que maximiza el volumen de la caja sin tapa.

La función de demanda de un producto es $$ (precio en R$ por unidad, $$ unidades vendidas). Maximiza la renta total $$.

Una empresa tiene renta $$ y costo $$. Determina la producción que maximiza la ganancia.

Una caja con tapa de base cuadrada debe tener volumen de 96 cm³. Minimiza el área total de superficie.

En un problema de optimización con restricción, ¿cuál es el papel correcto de la ecuación de restricción?

Para encontrar el máximo o mínimo absoluto de $$ en $$, debe:

Determina las dimensiones del cilindro de mayor volumen inscrito en una esfera de radio $$.

Determina los puntos de la parábola $$ más próximos del punto $$.

Un área rectangular de 300 m² será cercada. El lado este (largo $$) cuesta R$ 2/m y los demás lados cuestan R$ 3/m por metro. Minimiza el costo total.

Un objeto se lanza verticalmente con velocidad inicial de 20 m/s desde una altura de 3 m. Modelo: $$. Determina la altura máxima.

Una lata cilíndrica de volumen 200 cm³ tiene material de base y tapa que cuesta R$ 10/cm² y lateral que cuesta R$ 6/cm². Determina las dimensiones que minimizan el costo.

Un corredor de gimnasio tiene forma de rectángulo con semicírculos en los dos lados cortos (pista ovalada). El perímetro total es 20 m. Determina el radio $$ que maximiza el área interna.

La suma de dos números es 10. Encuentra los dos números que minimizan la suma de sus cuadrados.

La suma de dos números no-negativos es 1. Maximiza el producto del cuadrado del primero con el segundo.

Determina el área máxima de un rectángulo inscrito en un semicírculo de radio 5.

Determina el punto de la curva $$ más próximo del punto $$.

Una excursión cobra R$ 80 por persona para grupos de 100. Para cada pasajero extra, la tarifa de todos cae R$ 0,50. ¿Cuántos pasajeros maximizan la renta?

Un naranjal con 25 árboles por hectárea produce 600 naranjas por árbol. Para cada árbol adicional plantado, la producción por árbol cae 12 naranjas. ¿Cuántos árboles por hectárea maximizan la producción total?

Una ventana "normanda" está formada por un rectángulo encimado por un semicírculo. El perímetro total es 10 m. Determina el radio del semicírculo que maximiza el área de la ventana.

Usa cálculo para demostrar que, entre todos los pares de números positivos con suma fija $$, el producto es máximo cuando los dos números son iguales. (Esto demuestra la desigualdade AM-GM para dos términos.)

Demuestra que el cilindro de menor área superficial para volumen fijo $$ satisface $$ (altura igual al diámetro).

Determina el área máxima de un rectángulo inscrito en la elipse $$, con lados paralelos a los ejes coordenados.