Lección 64 — Regla de L'Hôpital
Regla de L'Hôpital para indeterminaciones 0/0 e ∞/∞. Formas indeterminadas 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 y límites notables como sin(x)/x y e^x/x^n.
Used in: 2.º año Bachillerato · Equiv. Math III japonés · Equiv. Analysis Klasse 12 alemán · Equiv. H2 Maths Singapur
Rigorous notation, full derivation, hypotheses
Enunciado, demostración y extensiones
Enunciado formal
"L'Hôpital's rule simplifies the evaluation of limits of quotients when both numerator and denominator approach 0 or ∞. The key is recognizing the indeterminate form, applying the rule, and checking that the resulting limit actually exists." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8
Idea de la demostración (caso 0/0)
Por el Teorema del Valor Medio de Cauchy: si , para cercano a existe entre y tal que:
Cuando , se tiene , y el límite pasa: (cuando la razón de derivadas converge).
Extensión a otras formas indeterminadas
"Note carefully: L'Hôpital's Rule says that the limit of a quotient of functions equals the limit of the quotient of their derivatives, provided the original limit is in the form 0/0 or ∞/∞. This is not the same as the derivative of a quotient." — Active Calculus §2.8
Ejemplos resolvidos
Exercise list
30 exercises · 7 with worked solution (25%)
- Ex. 64.1Application
Calcula .
- Ex. 64.2Application
Calcula .
- Ex. 64.3Application
Calcula .
- Ex. 64.4ApplicationAnswer key
Calcula .
- Ex. 64.5ApplicationAnswer key
Calcula .
- Ex. 64.6Application
Calcula .
- Ex. 64.7Application
Calcula .
- Ex. 64.8Application
Calcula .
- Ex. 64.9ApplicationAnswer key
Calcula .
- Ex. 64.10Application
Calcula .
- Ex. 64.11Application
Prueba vía L'Hôpital que .
- Ex. 64.12Application
Calcula .
- Ex. 64.13Understanding
Alguien quiere calcular usando L'Hôpital. ¿Qué hay de errado?
- Ex. 64.14Understanding
¿Cuál es la forma indeterminada de ?
- Ex. 64.15ApplicationAnswer key
Calcula .
- Ex. 64.16Application
Calcula .
- Ex. 64.17Application
Calcula .
- Ex. 64.18ApplicationAnswer key
Calcula .
- Ex. 64.19ApplicationAnswer key
Calcula para entero positivo.
- Ex. 64.20Application
Calcula .
- Ex. 64.21Application
Calcula .
- Ex. 64.22Application
Calcula .
- Ex. 64.23Application
Calcula .
- Ex. 64.24Application
Calcula .
- Ex. 64.25Application
Intenta calcular vía L'Hôpital. ¿Qué sucede? ¿Cuál es la respuesta correcta?
- Ex. 64.26Application
Calcula .
- Ex. 64.27Application
Calcula .
- Ex. 64.28Proof
Esboza la demostración de la Regla de L'Hôpital para el caso , usando el Teorema del Valor Medio de Cauchy.
- Ex. 64.29Proof
Usa la Regla de L'Hôpital para probar el límite fundamental .
- Ex. 64.30ChallengeAnswer key
Muestra que para cualquier (exponencial domina toda potencia). Usa L'Hôpital iterado y argumenta sobre el número de aplicaciones necesarias.
Fuentes
- Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-2-8-LHR.html
- OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
- Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com