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Lección 65 — Polinomio de Taylor

Aproximación local de funciones suaves por polinomios: serie de Taylor/Maclaurin, residuo de Lagrange y series clásicas de e^x, sin x, cos x.

Used in: 2.º año EM avanzado · Equiv. Math III japonés · Equiv. Leistungskurs Analysis alemán · Cálculo I universitario

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición rigurosa y propiedades

Polinomio de Taylor

"If $f$ has $n$ derivatives at $x = a$ , then the $n$ th-order Taylor polynomial of $f$ centered at $a$ is $p_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ ." — APEX Calculus §8.6

Residuo de Lagrange

"Let $f$ have $n + 1$ derivatives on an open interval $I$ and let $a \in I$ . For each $x \in I$ there exists a value $c$ between $a$ and $x$ such that $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ ." — OpenStax Calculus Vol. 2 §6.3

Series de Maclaurin clásicas

Función	Serie de Maclaurin	Radio
$e^x$	$1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{x^k}{k!}$	$\infty$
$\sin x$	$x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$	$\infty$
$\cos x$	$1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$	$\infty$
$\ln(1+x)$	$x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=1}^\infty \tfrac{(-1)^{k+1} x^k}{k}$	$(-1,1]$
$\dfrac{1}{1-x}$	$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k$	$(-1,1)$
$\arctan x$	$x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \tfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$	$[-1,1]$

Ejemplos resolvidos

Example— 1· Maclaurin de e^x hasta orden 4 (aplicación directa)

Problema. Encuentra el polinomio de Maclaurin de $f(x) = e^x$ de orden 4 y estima el error en $x = 0{,}5$ .

Estrategia. Como $\frac{d^k}{dx^k}e^x = e^x$ , todas las derivadas en $a = 0$ valen $1$ . Armar $P_4$ directamente. Usar residuo de Lagrange con $f^{(5)} = e^x$ .

Resolución.

Derivadas en $0$ : $f^{(k)}(0) = e^0 = 1$ para todo $k$ .
Polinomio: $P_4(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24}$ .
Error en $x = 0{,}5$ : $|R_4(0{,}5)| \leq \dfrac{e^\xi}{5!}(0{,}5)^5 \leq \dfrac{e^{0{,}5}}{120}\cdot\dfrac{1}{32} \approx \dfrac{1{,}649}{120 \cdot 32} \approx 0{,}000430$ .
Valor aproximado: $P_4(0{,}5) = 1 + 0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}02083 + 0{,}002604 \approx 1{,}6484$ . Valor exacto: $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ — error menor que $3 \times 10^{-4}$ . ✓

Verificación. El error estimado $4{,}3 \times 10^{-4}$ es mayor que el error real $3 \times 10^{-4}$ : el residuo de Lagrange es un mayorante. ✓

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2, §6.3, Example 6.17 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Taylor de ln x en torno de a = 1 (intermedio)

Problema. Obtén el polinomio de Taylor de orden 3 de $f(x) = \ln x$ centrado en $a = 1$ .

Estrategia. Calcular $f, f', f'', f'''$ en $x = 1$ . Armar $P_3$ con $(x - 1)$ como variable.

Resolución.

Derivadas: $f(x) = \ln x$ , $f'(x) = 1/x$ , $f''(x) = -1/x^2$ , $f'''(x) = 2/x^3$ .
En $a = 1$ : $f(1) = 0$ , $f'(1) = 1$ , $f''(1) = -1$ , $f'''(1) = 2$ .
Polinomio: $P_3(x) = 0 + 1\cdot(x-1) + \frac{-1}{2!}(x-1)^2 + \frac{2}{3!}(x-1)^3 = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}.$
Test en $x = 1{,}1$ : $P_3(1{,}1) = 0{,}1 - 0{,}005 + 0{,}000333 \approx 0{,}09533$ . Valor exacto: $\ln(1{,}1) \approx 0{,}09531$ . ✓

Verificación. La serie de $\ln(1+u) = u - u^2/2 + u^3/3 - \cdots$ con $u = x - 1$ coincide con $P_3$ . ✓

Fuente. Active Calculus §8.5, Activity 8.5.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Límite vía Taylor: lim (sin x - x)/x^3 (intermedio)

Problema. Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ .

Estrategia. Sustituir la serie de Maclaurin de $\sin x$ en el numerador y simplificar. Evita reglas de L'Hôpital iteradas.

Resolución.

Serie: $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
Numerador: $\sin x - x = -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots$
División por $x^3$ : $\dfrac{\sin x - x}{x^3} = -\dfrac{1}{6} + \dfrac{x^2}{120} - \cdots$
Límite: al tomar $x \to 0$ , todos los términos con $x$ van a cero. El límite es $\mathbf{-1/6}$ .

Verificación. Aplicando L'Hôpital tres veces también daría $-1/6$ , pero el método de Taylor es más rápido. ✓

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2, §6.3, Example 6.20 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Error de aproximacion sin x ≈ x para pendulo (modelado)

Problema. Un péndulo usa la aproximación $\sin\theta \approx \theta$ . Para $\theta = 15° = \pi/12$ rad, ¿cuál es el error relativo porcentual?

Estrategia. Calcular $\sin(\pi/12)$ exactamente y comparar con $\pi/12$ . Estimar el error vía el próximo término de la serie: $-\theta^3/6$ .

Resolución.

Ángulo en radianes: $\theta = \pi/12 \approx 0{,}2618$ rad.
Valor exacto: $\sin(\pi/12) = \sin(15°) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4 \approx 0{,}2588$ .
Aproximación: $\theta = 0{,}2618$ .
Error absoluto: $|0{,}2618 - 0{,}2588| = 0{,}0030$ .
Error relativo: $0{,}0030 / 0{,}2588 \approx 1{,}16\%$ .
Vía Taylor: error $\approx \theta^3/6 = (0{,}2618)^3/6 \approx 0{,}00298$ — muy próximo al error calculado. ✓

Verificación. Para $\theta < 0{,}1$ rad ( $\approx 5{,}7°$ ), el error cae bajo $0{,}017\%$ — justificando el uso en ingeniería. ✓

Fuente. APEX Calculus §8.6, Exercise 8.6.13 — CC-BY-NC.

Example— 5· Maclaurin por composicion: e^(sin x) hasta orden 3 (avanzado)

Problema. Obtén el polinomio de Maclaurin de $f(x) = e^{\sin x}$ hasta orden 3.

Estrategia. Sustituir la serie de $\sin x$ en la serie de $e^u$ , agrupando términos hasta $x^3$ .

Resolución.

Serie de sin: $\sin x = x - x^3/6 + O(x^5)$ .
$u = \sin x$ : entonces $e^u = 1 + u + u^2/2 + u^3/6 + O(u^4)$ .
Sustituyendo: $u = x - x^3/6 + \cdots$ $u = x - x^{3} /6 + \dots$ , luego:
- $u = x - x^3/6$
- $u^2 = x^2 - 2x\cdot x^3/6 + \cdots = x^2 + O(x^4)$
- $u^3 = x^3 + O(x^5)$
Montaje: $e^{\sin x} = 1 + \left(x - \tfrac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + 0 \cdot x^3 + O(x^4).$
Resultado: $P_3(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ .

Verificación. En $x = 0$ : $f(0) = e^0 = 1$ ✓. $f'(0) = e^{\sin 0}\cos 0 = 1$ ✓. $f''(0) = e^{\sin 0}(\cos^2 0 - \sin 0) = 1$ ✓.

Fuente. APEX Calculus §8.6, Exercises 8.6.17–8.6.20 — CC-BY-NC.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 8Challenge 2Proof 4

Ex. 65.1Application
Escribe el polinomio de Maclaurin de $f(x) = e^x$ hasta $x^4$ .
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Ex. 65.2Application
Escribe el polinomio de Maclaurin de $f(x) = \sin x$ hasta $x^7$ .
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Ex. 65.3Application
Escribe el polinomio de Maclaurin de $f(x) = \cos x$ hasta $x^6$ .
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Ex. 65.4Application
Escribe el polinomio de Maclaurin de $f(x) = \ln(1+x)$ hasta $x^4$ .
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Ex. 65.5ApplicationAnswer key
Maclaurin de $f(x) = 1/(1-x)$ hasta $x^5$ — es simplemente la serie geométrica.
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Ex. 65.6Application
Maclaurin de $f(x) = (1+x)^{1/2}$ hasta $x^3$ . Calcula $f'$ , $f''$ , $f'''$ en $x = 0$ .
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Ex. 65.7Application
Maclaurin de $\arctan x$ hasta $x^5$ (vía integración de $1/(1+x^2)$ ).
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Ex. 65.8Application
Maclaurin de $\sinh x$ y $\cosh x$ hasta $x^5$ .
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Ex. 65.9Application
Maclaurin de $e^{-x}$ hasta $x^4$ (sustitución directa en $e^x$ ).
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Ex. 65.10ApplicationAnswer key
Maclaurin de $\tan x$ hasta $x^5$ usando $\sin/\cos$ .
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Ex. 65.11ApplicationAnswer key
Maclaurin de $\cos(2x)$ hasta $x^4$ vía sustitución.
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Ex. 65.12Application
Maclaurin de $e^{x^2}$ hasta $x^6$ .
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Ex. 65.13ApplicationAnswer key
Maclaurin de $\cos(x^2)$ hasta $x^8$ .
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Ex. 65.14Application
Maclaurin de $\ln(1 - x^2)$ hasta $x^6$ .
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Ex. 65.15ApplicationAnswer key
Maclaurin de $1/(1+x^2)$ hasta $x^6$ (serie geométrica con $u = -x^2$ ).
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Ex. 65.16ApplicationAnswer key
Maclaurin de $e^x \sin x$ hasta $x^4$ .
Solve online
Ex. 65.17Application
Maclaurin de $\sin x \cos x$ hasta $x^5$ (o usa $\sin(2x)/2$ ).
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Ex. 65.18Application
Maclaurin de $x e^{-x}$ hasta $x^4$ .
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Ex. 65.19Application
Taylor de $\ln x$ en torno de $a = 1$ , orden 4.
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Ex. 65.20Application
Taylor de $\sqrt{x}$ en torno de $a = 1$ , orden 3.
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Ex. 65.21Application
Taylor de $1/x$ en torno de $a = 1$ , orden 3.
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Ex. 65.22Application
Taylor de $\cos x$ en torno de $a = \pi/4$ , orden 4.
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Ex. 65.23Modeling
Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ usando Taylor.
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Ex. 65.24Modeling
Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ usando Taylor.
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Ex. 65.25Modeling
Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + x^2/2}{x^4}$ .
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Ex. 65.26Modeling
Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$ .
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Ex. 65.27Modeling
Estima $\ln(1{,}1)$ con error menor que $10^{-4}$ usando la serie de Maclaurin. Di qué orden usar.
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Ex. 65.28ModelingAnswer key
Aproxima $\sin(0{,}1)$ con error menor que $10^{-6}$ . Di el orden usado.
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Ex. 65.29Modeling
Aproxima $\sqrt{1{,}1}$ usando Taylor de $\sqrt{1+x}$ en $a = 0$ hasta orden 2.
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Ex. 65.30Modeling
Energía relativística: $E = mc^2/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . Expande en potencias de $v/c$ e identifica los términos $E_0 = mc^2$ y $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ .
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Ex. 65.31Understanding
¿Qué hace que $P_n$ sea la "mejor aproximación polinomial de grado $n$ " en $a$ ?
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Ex. 65.32UnderstandingAnswer key
Muestra que si $f$ es polinomio de grado $\leq n$ , entonces $P_n = f$ exactamente (no solo aproximación).
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Ex. 65.33Understanding
Justifica que $e^x$ tiene radio de convergencia infinito usando estimativa de Lagrange.
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Ex. 65.34UnderstandingAnswer key
En finanzas, $(1 + r/n)^n \to e^r$ cuando $n \to \infty$ (interés continuo). Usa Taylor de $e^r$ para estimar el factor de crecimiento anual con $r = 12\%$ y compara con interés simple.
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Ex. 65.35Challenge
Deriva la fórmula de Euler $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ separando términos pares e impares de la serie de $e^z$ .
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Ex. 65.36Challenge
Muestra que $f(x) = e^{-1/x^2}$ (con $f(0) = 0$ ) tiene todas las derivadas nulas en $0$ — luego $P_n = 0$ para todo $n$ , pero $f \neq P_n$ .
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Ex. 65.37Proof
Demuestra que la serie de Maclaurin de $e^x$ converge a $e^x$ para todo $x \in \mathbb{R}$ (usa estimativa del residuo de Lagrange).
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Ex. 65.38ProofAnswer key
Demuestra Taylor multivariado de orden 2 (con hessiana) reduciendo a Taylor 1D a lo largo de una recta paramétrica.
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Ex. 65.39Proof
Demuestra la forma de Lagrange del residuo vía el Teorema del Valor Medio generalizado.
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Ex. 65.40Proof
Integra la serie $1/(1+t^2) = \sum (-1)^k t^{2k}$ para obtener $\arctan x$ como serie. Usa eso para derivar la fórmula de Leibniz: $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots$
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Fuentes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §8.5 Taylor Polynomials and Taylor Series · CC-BY-NC-SA. Fuente primaria.
Calculus Volume 2 — OpenStax · 2016 · §6.3 Taylor and Maclaurin Series · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5.0 · §8.6 Taylor Polynomials · CC-BY-NC.