Lección 66 — Concavidad y puntos de inflexión

Determine la concavidad de $f(x) = x^2$ en todo $\mathbb{R}$. ¿Hay inflexión?

Determine la concavidad y los puntos de inflexión de $f(x) = x^3$.

Concavidad de $f(x) = x^4$. ¿Hay inflexión en $x = 0$? Justifique con el signo de $f''$.

Concavidad de $f(x) = e^x$ en todo $\mathbb{R}$. ¿Hay inflexión?

Concavidad de $f(x) = \ln x$ en $(0, \infty)$.

Concavidad de $f(x) = \sin x$ en $[0, 2\pi]$. Identifique los puntos de inflexión.

Concavidad de $f(x) = \cos x$ en $[0, 2\pi]$. Puntos de inflexión.

Concavidad de $f(x) = 1/x$ en los intervalos $(0,\infty)$ e $(-\infty,0)$.

Concavidad de $f(x) = e^{-x^2/2}$ (gaussiana). Identifique los puntos de inflexión.

Concavidad e inflexión de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Use la prueba de $f''$: clasifique los extremos de $f(x) = x^3 - 12x$.

Extremos de $f(x) = x^4 - 4x^2$ via prueba de $f''$.

Extremos de $f(x) = x e^{-x}$ via $f''$.

Extremos de $f(x) = x^2 \ln x$ en $(0, \infty)$ via $f''$.

Extremos de $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)$ en $[0, 2\pi]$.

Muestre que $f(x) = x^4$ tiene mínimo en $x = 0$ a pesar de $f''(0) = 0$ (prueba inconclusa).

Muestre que $f(x) = x^5$ no tiene extremo en $x = 0$ a pesar de $f'(0) = 0$.

Para $f(x) = x^2 + 1/x$ en $x > 0$: halle el mínimo y justifique con $f''$.

Extremos de $f(x) = \ln x / x$ en $(0, \infty)$ via $f''$.

Extremos de $f(x) = x^{1/x}$ en $(0, \infty)$ (tome $\ln f$ antes de derivar).

Costo $C(q) = q^3 - 6q^2 + 9q + 100$. Halle la inflexión e interprete como cambio de retorno marginal.

Ganancia $\pi(q) = -q^3 + 30q^2 - 100q$. Maximice vía $\pi'$ y confirme con $\pi''$.

Curva logística $P(t) = K/(1 + e^{-rt})$. Muestre que hay inflexión en $P = K/2$ (mitad de la capacidad de soporte).

Energía potencial $U(x) = -\cos x$ (péndulo). Encuentre equilibrios estables e inestables usando $U''$.

Resorte armónico: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$. Muestre que $x = 0$ es equilibrio estable usando $U''$.

Entropía de Bernoulli $H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$. Muestre que $H'' < 0$ y que el máximo está en $p = 1/2$.

Curva de aprendizaje $L(t) = 1 - e^{-kt}$. Determine la concavidad. ¿Qué dice sobre la velocidad de aprendizaje?

En una epidemia, el pico de casos nuevos ocurre en el punto de inflexión de la curva de casos acumulados $f(t)$. Justifique geométricamente y vía $f''$.

Utilidad $U(W) = \ln W$ es cóncava. Explique cómo la desigualdad de Jensen implica aversión al riesgo para ese inversionista.

¿Por qué la función de pérdida de la regresión lineal tiene un único mínimo global? Use convexidad para justificar.

¿Cuál es la condición correcta para que $x_0$ sea punto de inflexión de $f$?

Pruebe que la suma de dos funciones convexas es convexa, usando la definición vía $f''$.

Muestre que $f$ convexa en $I$ implica desigualdad del punto medio: $f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$.

¿Por qué $f''(x_0) = 0$ no es suficiente para garantizar inflexión? Dé un contraejemplo concreto.

Muestre que $\ln$ es cóncava en $(0,\infty)$ y use eso para probar la desigualdad AM-GM: $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$ para $x, y > 0$.

Función de Huber $L(x) = x^2/2$ si $|x| \leq 1$; $|x| - 1/2$ en otro caso. ¿Es convexa? ¿Dónde $L''$ es discontinua?

Demuestre la prueba de la segunda derivada vía polinomio de Taylor de orden 2.

Demuestre la desigualdad de Jensen para dos puntos: $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ — directamente de la definición de convexidad.

Demuestre que toda función convexa en intervalo abierto es continua en el interior.

Demuestre que $f$ es convexa si y sólo si la gráfica siempre está arriba de cualquier tangente: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y-x)$ para todo $x, y$.