Lección 67 — Análisis marginal en economía

$C(q) = 100 + 5q + 0{,}1q^2$. Calcule $MC(q)$.

$C(q) = 200 + 3q + q^2/100$. Calcule coste medio y coste marginal en $q = 50$.

$R(q) = 100q - 2q^2$. Calcule el ingreso marginal $MR(q)$.

Demanda $p = 50 - q/2$. Escriba $R(q) = pq$ y calcule $MR(q)$.

$C(q) = q^2 + 9$. Encuentre el mínimo de $\bar{C}$ y confirme que coincide con $MC = \bar{C}$.

$C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 100$. Coste medio y coste marginal en $q = 10$.

Muestre que $\bar{C}$ tiene mínimo donde $MC = \bar{C}$ para $C(q) = q^2 + 16$.

$C(q) = 50 + 10q$. ¿Por qué $\bar{C}$ no tiene mínimo interior? Interprete económicamente.

Empresa produce con $C(q) = q^2$ y vende a $p = 100$ (competencia). Cantidad óptima.

$R(q) = 200q - q^2$, $C(q) = 50 + 80q$. Cantidad de ganancia máxima.

$C(q) = 100 + 5q + 0{,}1q^2$, precio fijo $p = 50$. Cantidad y ganancia óptimas.

Empresa monopolista con demanda $p = 100/q$ (elasticidad unitaria en todo punto). ¿Existe $q^*$ de ganancia máxima? ¿Por qué?

$p = 100 - q$, $C(q) = q^2/2 + 10q$. Ganancia máxima de monopolio.

$p = 60 - 2q$, $C(q) = 200 + 4q + q^2$. Encuentre $q^*$, $p^*$ y $\pi^*$.

Competencia perfecta: $p = 50$ fijo, $C(q) = q^2$. Cantidad y ganancia óptimas.

EOQ: $T(q) = Dhq/2 + SD/q$ (coste total de inventario). Derive y ache $q^* = \sqrt{2SD/h}$.

Impuesto $t$ por unidad cambia $C \to C + tq$. ¿Cómo cambia $q^*$? Muestre que $q^*$ cae.

Subvención $s$ por unidad vendida. Muestre que $q^*$ aumenta respecto al caso sin subvención.

$C(q) = q^3 - 6q^2 + 12q + 50$. Muestre que existe $q$ tal que $MC$ es mínimo (punto de inflexión de $C$).

$C(q) = q^2 + F$. Encuentre la cantidad que minimiza $\bar{C}$ y muestre que crece con $\sqrt{F}$.

Derive la regla del markup del monopolio: partiendo de $MR = MC$ y $MR = p(1 + 1/\varepsilon)$, obtenga $p^* = MC\cdot\varepsilon/(\varepsilon + 1)$.

Derive formalmente que la ganancia es máxima donde $MR = MC$, y que la condición de segundo orden exige $MR' < MC'$.

Demanda $q = 100 - 2p$. Calcule la elasticidad en $p = 25$.

$q = 50/p$. Calcule la elasticidad en cualquier $p$. ¿El resultado es constante?

$q = 100 e^{-p}$. Elasticidad en $p = 1$.

Demanda Cobb-Douglas $q = Ap^\alpha$. Calcule la elasticidad y muestre que es constante.

¿En cuál precio el ingreso total es máximo? Muestre que es donde $\varepsilon = -1$.

Tabaco: $\varepsilon = -0{,}5$. Impuesto sube precio 20%. ¿Cuánto cae el consumo?

Gasolina: $\varepsilon = -0{,}3$ (corto plazo). ¿Por qué política de subvención tiene alto coste fiscal para bajo ganancia en cantidad?

Demanda lineal $q = a - bp$. Muestre que $|\varepsilon|$ crece con $p$.

Derive $dR/dp = q(1 + \varepsilon)$ y use para explicar cuándo subir precio aumenta o reduce ingreso.

Con inflación de costes (IPC subiendo 5,8%), empresa con demanda de elasticidad $|\varepsilon| = 1{,}2$ debe repasar cuánto al precio? Use la regla del markup.

¿Por qué el monopolista produce menos que la competencia perfecta?

Muestre que $MR = p(1 + 1/\varepsilon)$ partiendo de $R = pq$ y de la regla de la cadena.

Markup porcentual: índice de Lerner $L = (p-MC)/p = -1/\varepsilon$. Verifique partiendo de $MR = MC$.

Demuestre que $\bar{C}$ tiene mínimo donde $MC = \bar{C}$, derivando $\bar{C}(q) = C(q)/q$.

Incidencia tributaria: con impuesto $t$ por unidad, la parte pagada por el comprador es $\varepsilon_S / (\varepsilon_S - \varepsilon_D)$. Demuestre.

Demuestre la regla del markup $p^* = MC\varepsilon/(\varepsilon+1)$ partiendo de $MR = MC$.

Muestre que en discriminación de precios de primer grado (precio perfecto), el monopolista extrae todo el excedente del consumidor y produce la cantidad eficiente ($p = MC$).

Explique cómo el delta de Black-Scholes $\Delta = \partial V/\partial S$ es análogo a una cantidad marginal, y cómo el argumento de portafolio replicante deriva la ecuación de Black-Scholes vía análisis marginal.