Lección 68 — Cinemática: posición, velocidad y aceleración

$s(t) = 2t^2 - 6t$. Calcule $v(t)$ y $a(t)$.

$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. ¿Cuándo $v = 0$? En cada instante, ¿está el objeto acelerando o frenando?

$s(t) = 100 - 5t^2$ (caída libre, $g = 10$ m/s²). ¿Cuándo golpea el suelo? Velocidad en ese instante.

$s(t) = 5t + \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^3$. Velocidad y aceleración en $t = 2$.

$s(t) = e^{-t}\sin t$. Calcule $v(t)$ y $a(t)$. ¿Qué revela la amplitud decreciente?

$s(t) = 10\sin(2t)$. Identifique $A$, $\omega$ y el período $T$. Escriba $v(t)$.

$s(t) = t^4 - 4t^3 + 6t^2$. Velocidad máxima en $[0, 3]$.

$s(t) = \ln(1 + t^2)$. Calcule $v(t)$ y evalúe en $t = 1$.

$s(t) = t^2 - 4t$. Distancia recorrida entre $t = 0$ y $t = 4$ (atención: $v$ cambia de signo).

$s(t) = A\cos(\omega t)$. Calcule el jerk $j(t) = s'''(t)$.

$s(t) = 2t^3 - 6t + 1$. ¿Cuándo la velocidad es cero? ¿Hay reversión de dirección?

$s(t) = \sin(t^2)$. Calcule $v(t)$ (regla de la cadena) y evalúe en $t = \sqrt{\pi}$.

Una pelota es lanzada hacia arriba con $v_0 = 20$ m/s desde el suelo. Altura máxima ($g = 10$ m/s²).

Un auto a $v_0 = 30$ m/s frena uniformemente a $a = -5$ m/s². Distancia de parada (Torricelli).

Un avión parte del reposo y despega a $v_f = 80$ m/s después de una pista de $1000$ m. Aceleración media y tiempo de carrera.

Una piedra cae desde $h = 80$ m. Tiempo de caída y rapidez en el impacto ($g = 10$ m/s²).

Un auto acelera $0 \to 100$ km/h en $10{,}5$ s. Aceleración media y distancia recorrida en el arranque.

Lanzamiento oblicuo: $v_0 = 50$ m/s a $30°$ del horizontal. Alcance horizontal ($g = 10$ m/s²).

Cohete: $a(t) = 30 - 0{,}5t$ m/s² hasta $t = 60$ s (motor se apaga). Velocidad y posición al apagarse.

Un tren frena uniformemente, recorre $200$ m en $20$ s y se detiene. ¿Cuál era $v_0$?

Una pelota es lanzada desde lo alto de una torre de $50$ m con $v_0 = 20$ m/s hacia arriba. Tiempo hasta golpear el suelo.

Un objeto de $m = 1$ kg cae con arrastre $b = 0{,}2$ kg/s. Velocidad terminal ($g = 10$ m/s²).

Masa-muelle: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m. Frecuencia angular $\omega$, período $T$ y frecuencia $f$.

$x(t) = 0{,}1\cos(2\pi t)$. Amplitud, período, $v(t)$ y velocidad máxima.

Un péndulo de longitud $L = 1$ m. Frecuencia angular $\omega = \sqrt{g/L}$ y período ($g = 10$ m/s²).

Verifique que $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ satisface la EDO $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$.

MAS: $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$. Muestre que $E$ es constante derivando en relación al tiempo.

$x(t) = e^{-t}\cos(5t)$ (oscilador amortiguado). Frecuencia aparente y comportamiento de la amplitud.

Desfasaje entre $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ y $v(t)$. Confirme $90°$.

Muestre que $a(t)$ y $x(t)$ están $180°$ desfasados en MAS — i.e., $a = -\omega^2 x$.

Una pelota es lanzada hacia arriba. En el punto más alto, la aceleración es:

Explique por qué la velocidad media ($\Delta s/\Delta t$) $\neq$ media de las velocidades en general. Dé un ejemplo numérico.

Explique la diferencia entre velocidad (magnitud vectorial 1D con signo) y rapidez (escalar). ¿Por qué $v < 0$ es posible?

Movimiento circular: $\vec{r} = R(\cos\omega t, \sin\omega t)$. Muestre que $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ y $|\vec{a}| = R\omega^2$.

Un proyectil es lanzado con $v_0$ y ángulo $\theta$. Derive la fórmula del alcance $R = v_0^2\sin(2\theta)/g$ y el ángulo óptimo.

Un auto: 60 km/h por 1 h, luego 120 km/h por 1 h. ¿Velocidad media por tiempo? ¿Y por distancia igual recorrida?

Caída con resistencia cuadrática: $m\dot{v} = -mg - bv^2$. Velocidad terminal y solución analítica de $v(t)$ (vía separación de variables).

Hélice: $\vec{r}(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t, vt)$. Calcule $\vec{v}$, $|\vec{v}|$ y $\vec{a}$.

Demuestre la ecuación de Torricelli $v_f^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$ a partir de las ecuaciones del MUV, eliminando el tiempo $t$.

Muestre que en MAS el promedio temporal de energía cinética y potencial son iguales a $E/2$ cada uno — usando $\langle\sin^2\rangle = \langle\cos^2\rangle = 1/2$.