Lección 69 — Método de Newton-Raphson

$f(x) = x^2 - 2$, $x_0 = 1$. Aplica 3 iteraciones de Newton-Raphson. Compara con $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$

$f(x) = x^2 - 5$, $x_0 = 2$. Aplica 3 iteraciones para estimar $\sqrt{5}$.

$f(x) = x^3 - 2$, $x_0 = 1$. Aplica 3 iteraciones para estimar $\sqrt[3]{2}$.

$f(x) = \cos x - x$, $x_0 = 1$. Aplica 3 iteraciones para estimar el punto fijo de $\cos$.

$f(x) = e^x - 2$, $x_0 = 1$. Aplica 3 iteraciones para estimar $\ln 2$.

$f(x) = x \ln x - 1$, $x_0 = 2$. Aproxima la raíz con 4 casas decimales.

$f(x) = \sin x$, $x_0 = 3$. Demuestra numéricamente que las iteraciones convergen a $\pi$.

$f(x) = x^3 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Aproxima la raíz real (constante plástica $\approx 1{,}3247$).

$f(x) = x^2 - x - 1$, $x_0 = 1{,}5$. Aproxima la razón áurea $\phi = (1 + \sqrt{5})/2$.

$f(x) = \tan x - x$, $x_0 = 4{,}5$. Aproxima la raíz positiva más pequeña mayor que $\pi$.

Demuestra que la fórmula de Herón $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ para calcular $\sqrt{a}$ es exactamente Newton-Raphson aplicado a $f(x) = x^2 - a$.

Generaliza: ¿cuál es la iteración de Newton para calcular $\sqrt[n]{a}$? Aplica para $n = 3$, $a = 8$, $x_0 = 2$ (2 pasos).

Demuestra que $x_{n+1} = x_n(2 - ax_n)$ calcula $1/a$ vía Newton sin ninguna operación de división. Aplica para $a = 7$, $x_0 = 0{,}1$ (3 pasos).

Minimiza $g(x) = x^4 - 4x + 1$ aplicando Newton-Raphson en $g'(x) = 0$, con $x_0 = 1{,}5$.

Flujos de caja: $-1000$, $300$, $400$, $500$ (años 0, 1, 2, 3). La TIR $r$ es raíz de $f(r) = -1000 + 300/(1+r) + 400/(1+r)^2 + 500/(1+r)^3 = 0$. Usa Newton con $r_0 = 0{,}15$.

En Black-Scholes, dado precio de mercado $V_{\text{mkt}}$ de una opción, explica cómo usar Newton-Raphson para encontrar la volatilidad implícita $\sigma$. ¿Cuál es el papel del vega en la iteración?

En la ecuación de van der Waals $(P + a/V^2)(V - b) = RT$, dado $P$, $T$ (y constantes del gas), usa Newton para encontrar el volumen molar $V$. Esboza la iteración.

Ecuación de Kepler: $E - e \sin E = M$. Para $e = 0{,}3$ (excentricidad) y $M = 1$ rad (anomalía media), usa Newton con $E_0 = 1$ para hallar la anomalía excéntrica $E$ (4 iteraciones).

¿Qué comportamiento puede exhibir Newton-Raphson cuando la estimación inicial $x_0$ está lejana de la raíz?

¿Cuál es el criterio de parada más robusto para Newton-Raphson?

Demuestra que Newton-Raphson con $f(x) = x^3 - 2x + 2$ y $x_0 = 0$ cicla indefinidamente entre $0$ y $1$.

$f(x) = x^2$ (raíz doble en $x = 0$), $x_0 = 1$. Demuestra que Newton-Raphson converge sólo linealmente, con razón $1/2$.

$f(x) = x^{1/3}$ tiene raíz en $x = 0$ pero $f'(0)$ no existe. ¿Qué sucede con Newton-Raphson? Calcula 4 iteraciones partiendo de $x_0 = 1$.

Aplica el método de la secante ($x_0 = 1$, $x_1 = 2$) a $f(x) = x^2 - 2$ por 4 iteraciones. Compara con Newton (ejercicio 69.1).

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ tiene 3 raíces reales. Aplica Newton con $x_0 = 2$, luego con $x_0 = -2$, luego con $x_0 = 0{,}5$. ¿A cuál raíz llega cada estimación?

Newton modificado para raíz doble: $x_{n+1} = x_n - 2f(x_n)/f'(x_n)$. Aplica a $f(x) = (x-1)^2$, partiendo de $x_0 = 3$. Compara con la iteración estándar.

Newton para optimización: demuestra que aplicar Newton a $g'(x) = 0$ para minimizar $g$ es equivalente al Newton estándar con $f = g'$. Aplica para minimizar $g(x) = e^x - 3x$ con $x_0 = 0$.

Para $f(z) = z^3 - 1$ en el plano complejo, describe cualitativamente las 3 cuencas de Newton. En la recta real, ¿a cuál raíz llegan $x_0 = 2$ y $x_0 = -0{,}5$?

Demuestra la convergencia cuadrática de Newton-Raphson vía Taylor de orden 2. Identifica la constante $C = |f''(r)|/(2|f'(r)|)$.

Demuestra: si $f$ es convexa creciente con raíz simple $r$ y $x_0 > r$ con $f(x_0) > 0$, Newton-Raphson converge a $r$.

Generaliza Newton-Raphson para $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Escribe el sistema lineal a resolver en cada paso e identifica el papel de la Jacobiana $J$.

Demuestra que la iteración de Herón $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ converge cuadráticamente a $\sqrt{a}$ para cualquier $x_0 > 0$.