Lección 70 — Consolidación Trimestre 7: máximos, L'Hôpital, Taylor, Newton

Encuentra los puntos críticos, extremos locales y punto de inflexión de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$.

Maximiza $f(x) = xe^{-x}$ en $[0, +\infty)$. ¿Cuál es el máximo absoluto?

Bosqueja $f(x) = (x^2 - 4)/x$. Identifica asíntotas, monotonía y concavidad.

Encuentra el mínimo absoluto de $f(x) = x + 4/x$ en $(0, +\infty)$.

Una lata cilíndrica de $V = 1000\ \text{cm}^3$ debe ser construida con material mínimo. Determina el radio y la altura óptimos.

De un cartón $20 \times 30\ \text{cm}$, se cortan cuadrados $x \times x$ en las esquinas y se doblan las pestañas. ¿Qué $x$ maximiza el volumen de la caja?

Encuentra el punto de la parábola $y = x^2$ más cercano al punto $(3, 0)$.

Una valla de $200\ \text{m}$ delimita un rectángulo pegado a una pared (la pared forma un lado). Maximiza el área.

Determina las inflexiones y la concavidad de $f(x) = e^{-x^2}$.

Haz el bosquejo completo de $f(x) = \ln(1 + x^2)$: dominio, simetría, extremos, inflexiones, comportamiento asintótico.

L'Hôpital se aplica directamente a $\lim_{x \to 0} \sin x / x$ (forma $0/0$). ¿Cuál alternativa describe un caso en que la regla no se aplica directamente?

Calcula $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$.

Calcula $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{e^x}$.

Calcula $\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$ (forma indeterminada $0^0$).

Escribe el polinomio de Maclaurin de $\sin x$ de orden 5 ($P_5$).

Usa expansión de Taylor para calcular $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$.

Aproxima $\sqrt{1{,}1}$ usando la serie de Maclaurin de $(1+x)^{1/2}$ hasta orden 3.

Aproxima $e^{-0{,}1}$ con el polinomio de Maclaurin de $e^x$ de orden 3. Calcula el error.

Calcula $\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}$ usando Taylor.

Escribe la serie de Maclaurin de $\ln(1+x)$ hasta el término en $x^5$.

Calcula $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - \cos x - x}{x^2}$ vía Taylor.

¿Cuál es el intervalo de convergencia de la serie de Maclaurin de $\ln(1 + x)$?

Escribe $P_6(x)$ de Maclaurin para $\cos x$.

Calcula $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x$ (forma $1^\infty$).

Costo $C(q) = q^2/4 + 5q + 100$ (reales), precio $p = 50$ reales/unidad. Encuentra cantidad $q^*$ y ganancia máxima $\pi^*$.

Monopolista tiene demanda $q = 100 - 2p$ y costo $C(q) = 10q$. Encuentra $q^*$, $p^*$ y ganancia máxima.

Una bola es lanzada verticalmente con velocidad inicial $v_0 = 20\ \text{m/s}$ ($g = 10\ \text{m/s}^2$). Calcula la altura máxima y el tiempo de vuelo.

$s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$. ¿Cuándo $v(t) = 0$? Calcula la distancia total recorrida en $0 \leq t \leq 5$.

Sistema masa-muelle: $m = 0{,}5\ \text{kg}$, $k = 50\ \text{N/m}$, amplitud $A = 0{,}1\ \text{m}$. Calcula el período y la velocidad máxima.

Usa Newton-Raphson en $f(x) = x^2 - 7$ con $x_0 = 3$ para calcular $\sqrt{7}$ con 5 decimales.

Usa Newton-Raphson en $f(x) = x^3 - 2$ con $x_0 = 1$ para aproximar $\sqrt[3]{2}$. Haz 3 iteraciones.

Aplica Newton-Raphson en $f(x) = e^x - 3x$ para encontrar ambas las raíces reales. Usa $x_0 = 0$ para una y $x_0 = 1{,}5$ para la otra.

Ecuación de Kepler: $E - 0{,}3\sin E = 1$. Usa Newton-Raphson con $E_0 = 1$ y haz 4 iteraciones.

Muestra que una función $C^2$ estrictamente convexa ($f'' > 0$) en $\mathbb{R}$ tiene a lo más un punto de mínimo.

Usa la serie de Maclaurin de $\sin x$ para demostrar que $\sin x < x$ para todo $x > 0$.

Bosqueja $f(x) = x^x$ en $(0, +\infty)$. Encuentra el mínimo y analiza el comportamiento en los extremos del dominio.

Newton-Raphson aplicado a $f(x) = \arctan x$ con $x_0 = 2$ diverge. Explica geométricamente por qué y muestra numéricamente.

Demuestra vía Taylor: si $f'(a) = 0$ y $f^{(k)}(a)$ es la primera derivada no-nula en $a$, entonces $a$ es extremo si $k$ es par, y punto de silla/inflexión si $k$ es impar.

Muestra, vía Taylor de orden 1, que $\lim_{x\to a} f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)$ cuando $f(a) = g(a) = 0$ y $g'(a) \neq 0$.

Deriva formalmente la condición $MR = MC$ para ganancia máxima. Explica por qué monopolista produce menos que empresa competitiva.